Soluzioni
  • Ciao Giudiliaice, arrivo :D

    Dammi tempo, purtroppo è un esercizio lungo! :(

    Risposta di Ifrit
  • lo immaginavo, ti ringrazio ancora in anticipo! (è la prima volta che uso youmath quindi non so bene come funziona ;) )

    Risposta di giuliaice
  • Ok, iniziamo:

    y'= (y+1)x\sqrt{x^2+1}

    E' una equazione differenziale a variabili separabili, osserviamo che y=-1 è una soluzione costante dell'equazione differenziale associzata, ma non rispetta la condizione iniziale, quindi è da scartare.

    Per y\ne -1

    dividiamo membro a membro per y+1 ottenendo:

    \frac{y'}{y+1}= x\sqrt{x^2+1}

    integrando membro a membro abbiamo che:

    \int \frac{y'(x)}{y(x)+1}dx=\int x\sqrt{x^2+1}dx

    Poniamo t=y(x)\implies dt= y(x)dx

    L'integrale al primo membro diventa:

    \int \frac{dt}{t+1}= \ln|t+1|+c=

    Tornando in y abbiamo che:

    \int \frac{y'(x)}{y(x)+1}dx=\ln|y(x)+1|+c

    Mentre l'integrale al secondo membro è:

    \int x\sqrt{x^2+1}dx

    Ponendo in questo caso s=x^2+1\implies ds= 2xdx\implies xdx= \frac{1}{2} ds

    sostituendo:

    \int \frac{1}{2}\sqrt{s}ds= \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}s^{\frac{2}{3}}+c=

    \frac{1}{3}s^{\frac{2}{3}}+c= \frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{2}{3}}+c

     

    Dunque abbiamo che:

    \ln|y(x)+1|= \frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{2}{3}}+c

    Da cui:

    |y(x)-1|= e^{\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{2}{3}}+c}

    Quando x=0 y(0)=0 quindi:

    |-1|= e^{\frac{1}{3}+c}\implies e^{\frac{1}{3}}e^c= 1\implies

    e^c= \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}\implies c= -\ln(e^{\frac{1}{3}})= -\frac{1}{3}

    La soluzione è:

    y(x)=1-\frac{1}{3} e^{\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{2}{3}}}

     

    Scusami per il ritardo :(

    Risposta di Ifrit
  • grazie!

    Risposta di giuliaice
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