Area e perimetro di un triangolo inscritto

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Vi chiedo di aiutarmi con un problema sul triangolo isoscele che è inscritto in una circonferenza, di cui devo calcolare perimetro e area. Dovrei risolverlo con le equazioni.

 

Un triangolo isoscele ABC è inscritto in una circonferenza che ha il raggio di 12,5m. Determinare il perimetro e l'area del triangolo, sapendo che il lato è lungo 20m.

Domanda di cifratonda

 
Soluzioni

  • Disegniamo un triangolo isoscele inscritto in una circonferenza.

     

    Triangolo isoscele inscritto

     

    Dai dati forniti dal problema sappiamo che

    CB=AC=20 \mbox{ m}

    r=OC=OB=12,5 \mbox{ m}

    dove r indica il raggio della circonferenza.

    Poniamo OH=x e concentriamo la nostra attenzione sul triangolo rettangolo OHB del quale conosciamo la misura dell'ipotenusa e di un cateto. Possiamo allora utilizzare il teorema di Pitagora e ricavare anche la misura di HB in funzione dell'incognita:

    HB=\sqrt{OB^2-OH^2}=\sqrt{12,5^2-x^2}=\sqrt{156,25-x^2}

    Osserviamo inoltre che l'altezza del triangolo è data da

    CH=CO+OH=12,5+x

    L'equazione risolutiva del problema si ottiene riapplicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo CHB

    CB^2=CH^2+HB^2

    da cui

    20^2=(12,5+x)^2+\left(\sqrt{156,25-x^2}\right)^2

    Sviluppiamo il quadrato di binomio e svolgiamo i conti; ricadiamo così in un'equazione di primo grado

    400=156,25+25x+x^2+156,25-x^2

    25x=87,5 \to x=3,5

    Possiamo allora concludere che

    OH=x=3,5 \mbox{ m}

    CH=CO+OH=12,5+x=12,5+3,5=16 \mbox{ m}

    HB=\sqrt{156,25-x^2}=\sqrt{156,25-12,25}=\sqrt{144}=12 \mbox{ m}

    La base del triangolo isoscele misurerà

    AB=2HB=24 \mbox{ m}

    Abbiamo tutto quello che ci occorre per trovare l'area ed il perimetro del triangolo isoscele

    2p=AB+BC+AC=24+20+20=64 \mbox{ m}

    A=\frac{AB \times CH}{2}=\frac{24 \times 16}{2}=192\mbox{ m}^2

    Risposta di Galois
 
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