Area e perimetro di un triangolo inscritto

Vi chiedo di aiutarmi con un problema sul triangolo isoscele che è inscritto in una circonferenza, di cui devo calcolare perimetro e area. Dovrei risolverlo con le equazioni.

Un triangolo isoscele ABC è inscritto in una circonferenza che ha il raggio di 12,5m. Determinare il perimetro e l'area del triangolo, sapendo che il lato è lungo 20m.

In Medie - Geometria - Domanda di cifratonda

Soluzioni

Ciao cifratonda. :)
Disegniamo un triangolo isoscele inscritto in una circonferenza.

Dai dati forniti dal problema sappiamo che
$CB=AC=20 \mbox{ m}$
$r=OC=OB=12,5 \mbox{ m}$
dove indica il raggio della circonferenza.
Poniamo e concentriamo la nostra attenzione sul triangolo rettangolo del quale conosciamo la misura dell'ipotenusa e di un cateto. Possiamo allora utilizzare il teorema di Pitagora e ricavare anche la misura di HB in funzione dell'incognita:
$HB=\sqrt{OB^2-OH^2}=\sqrt{12,5^2-x^2}=\sqrt{156,25-x^2}$
Osserviamo inoltre che l'altezza del triangolo è data da
L'equazione risolutiva del problema si ottiene riapplicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo
da cui
$20^2=(12,5+x)^2+\left(\sqrt{156,25-x^2}\right)^2$
Sviluppiamo il quadrato di binomio e svolgiamo i conti; ricadiamo così in un'equazione di primo grado
$25x=87,5 \to x=3,5$
Possiamo allora concludere che
$OH=x=3,5 \mbox{ m}$
$CH=CO+OH=12,5+x=12,5+3,5=16 \mbox{ m}$
$HB=\sqrt{156,25-x^2}=\sqrt{156,25-12,25}=\sqrt{144}=12 \mbox{ m}$
La base del triangolo isoscele misurerà
$AB=2HB=24 \mbox{ m}$
Abbiamo tutto quello che ci occorre per trovare l'area ed il perimetro del triangolo isoscele
$2p=AB+BC+AC=24+20+20=64 \mbox{ m}$
$A=\frac{AB \times CH}{2}=\frac{24 \times 16}{2}=192\mbox{ m}^2$
Risposta di Galois