Area e perimetro di un triangolo inscritto

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Vi chiedo di aiutarmi con un problema sul triangolo isoscele che è inscritto in una circonferenza, di cui devo calcolare perimetro e area. Dovrei risolverlo con le equazioni.

 

Un triangolo isoscele ABC è inscritto in una circonferenza che ha il raggio di 12,5m. Determinare il perimetro e l'area del triangolo, sapendo che il lato è lungo 20m.

Domanda di cifratonda

 
Soluzioni

  • Disegniamo un triangolo isoscele inscritto in una circonferenza.

     

    Triangolo isoscele inscritto

     

    Dai dati forniti dal problema sappiamo che

    CB = AC = 20 m

    r = OC = OB = 12,5 m

    dove r indica il raggio della circonferenza.

    Poniamo OH = x e concentriamo la nostra attenzione sul triangolo rettangolo OHB del quale conosciamo la misura dell'ipotenusa e di un cateto. Possiamo allora utilizzare il teorema di Pitagora e ricavare anche la misura di HB in funzione dell'incognita:

    HB = √(OB^2-OH^2) = √(12,5^2-x^2) = √(156,25-x^2)

    Osserviamo inoltre che l'altezza del triangolo è data da

    CH = CO+OH = 12,5+x

    L'equazione risolutiva del problema si ottiene riapplicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo CHB

    CB^2 = CH^2+HB^2

    da cui

    20^2 = (12,5+x)^2+(√(156,25-x^2))^2

    Sviluppiamo il quadrato di binomio e svolgiamo i conti; ricadiamo così in un'equazione di primo grado

    400 = 156,25+25x+x^2+156,25-x^2

    25x = 87,5 → x = 3,5

    Possiamo allora concludere che

    OH = x = 3,5 m

    CH = CO+OH = 12,5+x = 12,5+3,5 = 16 m

    HB = √(156,25-x^2) = √(156,25-12,25) = √(144) = 12 m

    La base del triangolo isoscele misurerà

    AB = 2HB = 24 m

    Abbiamo tutto quello che ci occorre per trovare l'area ed il perimetro del triangolo isoscele

    2p = AB+BC+AC = 24+20+20 = 64 m

    A = (AB×CH)/(2) = (24×16)/(2) = 192 m^2

    Risposta di Galois
 
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