Soluzioni
  • Il valor medio di una funzione definita su un intervallo [a,b] è un numero reale definito come segue

    m_{[a,b]}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx

    Nel nostro caso f(x) è una funzione razionale fratta

    f(x)=\frac{x^2+2}{x^2-4}

    mentre l'intervallo è [a,b]=[3,5].

    L'esercizio ci chiede quindi di determinare

    m_{[3,5]}=\frac{1}{5-3}\int_{3}^{5}\frac{x^2+2}{x^2-4}dx=

    o detto in altri termini dobbiamo calcolare l'integrale di una funzione razionale fratta in cui il grado del numeratore coincide con quello del denominatore. 

    =\frac{1}{2}\int_{3}^{5}\frac{x^2+2}{x^2-4}dx=

    Possiamo affrontare questo integrale mediante un trucchetto algebrico: sommiamo e sottraiamo 4 al numeratore dell'integranda

    \\ =\frac{1}{2}\int_{3}^{5}\frac{x^2-4+4+2}{x^2-4}dx= \\ \\ \\ = \frac{1}{2}\int\frac{x^2-4+6}{x^2-4}dx=

    Perfetto, ora non ci resta che distribuire il denominatore agli addendi del numeratore così da poter eseguire delle semplificazioni:

    =\frac{1}{2}\int_{3}^{5}\left(\frac{x^2-4}{x^2-4}+\frac{6}{x^2-4}\right)dx=

    e in più utilizzare le proprietà degli integrali, così da esprimere l'integrale della somma come somma di integrali

    =\frac{1}{2}\left(\int_{3}^{5}1dx+\int_{3}^{5}\frac{6}{x^2-4}dx\right)

    L'integrale di 1 è noto mentre il secondo è un po' più elaborato. Procediamo così, per semplificità di esposizione chiamiamo:

    I=\int_{3}^{5}1 \ dx \ \ \ \mbox{ e } \ \ \ J=\int_{3}^{5}\frac{6}{x^2-4}dx

    e continuiamo calcolando separatamente i due integrali, il primo dei quali è banale:

    I=\int_{3}^{5}1 \ dx=[x]_{3}^{5}=5-3=2

    Occupiamoci del secondo

    \\ J=\int_{3}^{5}\frac{6}{x^2-4}dx= \\ \\ \\ = 6\int_{3}^{5}\frac{1}{x^2-4}dx

    Per affrontare quest'ultimo integrale procederemo con il metodo dei fratti semplici, osservando che x^2-4=(x-2)(x+2)

    essendo una differenza di quadrati.

    Al fattore x-2 associamo \frac{A}{x-2}, mentre al fattore x+2 associamo \frac{B}{x+2}.

    Non ci resta che determinare le due costanti A\mbox{ e }B per le quali sussiste l'uguaglianza

    \frac{1}{x^2-4}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}

    Eseguiamo alcuni semplici calcoli così da ottenere

    \frac{1}{x^2-4}=\frac{A(x+2)+B(x-2)}{(x-2)(x+2)}

    da cui, semplificando i denominatori e raccogliendo parzialmente secondo le potenze di x al secondo membro

    1=(A+B)x+2A-2B

    Perfetto! Ora il principio di identità dei polinomi ci permette di scrivere il seguente sistema lineare.

    \begin{cases}A+B=0 \\ 2A-2B=1\end{cases}

    da cui si ottiene facilmente che

    A=\frac{1}{4}, \ B=\frac{1}{4}

    dunque

    \\ J=6\int_{3}^{5}\left(\frac{1}{4(x-2)}-\frac{1}{4 (x+2)}\right)dx= \\ \\ \\ =6\left(\frac{1}{4}\int_{3}^{5}\frac{1}{x-2}dx-\frac{1}{4}\int_{3}^{5}\frac{1}{x+2}dx\right)=

    Quelli ottenuti sono integrali notevoli in forma generale che hanno come risultato una funzione logaritmica:

    \\ =6\left(\frac{1}{4}\left[\ln(|x-2|)\right]_{3}^{5}-\frac{1}{4}[\ln(|x+2|)]_{3}^{5}\right)= \\ \\ \\ =6\left(\frac{\ln(3)-\ln(1)}{4}-\frac{\ln(7)-\ln(5)}{4}\right)= \\ \\ \\ =\frac{6}{4}\left(\ln(3)-\ln(1)-\ln(7)+\ln(5)\right)=

    Usando le proprietà dei logaritmi, la precedente espressione diventa:

    \\ =\frac{3}{2}\left(\ln(3)-\ln(7)+\ln(5)\right)=\frac{3}{2}\ln\left(\frac{15}{7}\right)

    Ora abbiamo gli elementi per determinare il valor medio

    m_{[3,5]}=\frac{1}{2}(I+J)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{3}{2}\ln\left(\frac{15}{7}\right)\right)=1+\frac{3}{4}\ln\left(\frac{15}{7}\right)

    e l'esercizio è completo.

    Risposta di Ifrit
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