Punto di flesso con la derivata terza

Ciao devo dimostrare che un punto è un punto di flesso di una funzione con un'ipotesi sulla derivata terza:

 

Sia f: R -> R derivabile tre volte e sia x0 appartenente a R tale che: f''(x0) = 0 , f'''(x0) ≠ 0.

 

Si dimostri che x0 è un punto di flesso per la funzione f.

In Uni - Analisi - Domanda di leoncinakiara

Soluzioni

  • Ciao Leoncinakiara, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • L'idea della dimostrazione riguarda il fatto che la non negatività della derivata terza della funzione nel punto x_0 implica una variazione nel segno della derivata seconda nell'intorno del punto x_0. L'annullamento della derivata seconda, in sé e per sé, costituisce una condizione necessaria ma non sufficiente per la presenza di un punto di flesso.

    Quindi si tratta di verificare la definizione di punto di flesso sapendo che f'''(x_0)\neq 0, e provare che nell'intorno del punto x_0 la derivata seconda f''(x_0) cambia segno (il punto di partenza è che, naturalmente, f''(x_0)=0).

    Alla luce di ciò, la dimostrazione è praticamente fatta. Si tratta solamente di riscrivere in modo rigoroso e analitico le precedenti osservazioni.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Cioè come potrei riscriverle? Grazie :)Sealed:)

    Risposta di leoncinakiara

  • Non mi dilungo troppo nei dettagli (o forse sì...Laughing) però osserva che la derivata terza f'''(x_0) è data da

    f'''(x_0)=\lim_{x\to x_0}{\frac{f''(x)-f''(x_0)}{x-x_0}}

    Essendo per ipotesi f'''(x_0)\neq 0, supponiamo per fissare le idee che 

    f'''(x_0)>0

    inoltre per ipotesi sappiamo che

    f''(x_0)=0

    quindi abbiamo come derivata destra di f''(x)

    f'''(x_0)=\lim_{x\to x_0^+}{\frac{f''(x)}{x-x_0}}

    dove f'''(x_0) è positivo, quindi per il teorema della parmanenza del segno avremo necessariamente

    f''(x)>0

    in un intorno destro del punto x_0, essendo x-x_0>0.

    Allo stesso modo si prova che

    f''(x)<0

    in un intorno sinistro del punto x_0, essendo x-x_0<0.

    Da qui la tanto agognata variazione del segno della derivata seconda Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
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