Limite con differenza di esponenziali all'infinito

Ho un limite di una differenza di funzioni esponenziali e credo di doverlo calcolare con i limiti notevoli. Dopo un paio di tentativi mi sono arreso, spero nel vostro aiuto

$\lim_{x\to+\infty}\left(xe^{\frac{x+1}{x+2}}-ex\right)$

Domanda di xeltonx

Soluzioni

Per calcolare il limite
$\lim_{x\to+\infty}\left(xe^{\frac{x+1}{x+2}}-ex\right)=$
raccogliamo totalmente il termine
$=\lim_{x\to+\infty}ex\left[e^{\frac{x+1}{x+2}-1}-1\right]=$
e svolgiamo i calcoli all'esponente
$\\ =\lim_{x\to+\infty}ex\left[e^{\frac{x+1-x-2}{x+2}}-1\right]= \\ \\ \\ = \lim_{x\to+\infty}e x\left[e^{-\frac{1}{x+2}}-1\right]=(\bullet)$
Applichiamo il limite notevole in forma generale associato alla funzione esponenziale
$\lim_{h(x)\to 0}\frac{e^{h(x)}-1}{h(x)}=1$
Nel caso in esame l'esponente dell'esponenziale è infinitesimo per $x\to +\infty$ , conseguentemente possiamo passare al limite equivalente
$(\bullet)=\lim_{x\to+\infty}ex\left[-\frac{1}{x+2}\right]=$
Per semplice confronto tra infiniti, concludiamo che il risultato è
$=\lim_{x\to+\infty}\frac{-ex}{x+2}=-e$
Fatto!
Risposta di Ifrit

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