Limite con differenza di esponenziali all'infinito

Ho un limite di una differenza di funzioni esponenziali e credo di doverlo calcolare con i limiti notevoli. Dopo un paio di tentativi mi sono arreso, spero nel vostro aiuto

 

\lim_{x\to+\infty}\left(xe^{\frac{x+1}{x+2}}-ex\right)

In Uni - Analisi - Domanda di xeltonx

Soluzioni

  • Per calcolare il limite

    \lim_{x\to+\infty}\left(xe^{\frac{x+1}{x+2}}-ex\right)=

    raccogliamo totalmente il termine ex

    =\lim_{x\to+\infty}ex\left[e^{\frac{x+1}{x+2}-1}-1\right]=

    e svolgiamo i calcoli all'esponente

    \\ =\lim_{x\to+\infty}ex\left[e^{\frac{x+1-x-2}{x+2}}-1\right]= \\ \\ \\ = \lim_{x\to+\infty}e x\left[e^{-\frac{1}{x+2}}-1\right]=(\bullet)

    Applichiamo il limite notevole in forma generale associato alla funzione esponenziale

    \lim_{h(x)\to 0}\frac{e^{h(x)}-1}{h(x)}=1

    Nel caso in esame l'esponente dell'esponenziale è infinitesimo per x\to +\infty, conseguentemente possiamo passare al limite equivalente

    (\bullet)=\lim_{x\to+\infty}ex\left[-\frac{1}{x+2}\right]=

    Per semplice confronto tra infiniti, concludiamo che il risultato è -e

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{-ex}{x+2}=-e

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
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