Soluzioni
  • Ciao Matteo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per vedere se il vettori assegnati sono linearmente indipendenti, consideriamo la matrice avente per colonne i vettori stessi ed usiamo il criterio dei minori (un'alternativa è la procedura di eliminazione gaussiana, se fai una ricerca trovi diversi esempi svolti Wink). 

    M=\left[\begin{matrix}2&3&7&4\\ 6&1&13&-4\\ 5&4&14&3\\ 1&2&4&3\end{matrix}\right]

    Secondo il criterio dei minori, il rango della matrice (cioè il massimo numero di vettori colonna, o riga - linearmente indipendenti) è dato dall'ordine del minore di ordine massimo che sia invertibile. Per vedere se un minore è invertibile, ne calcoliamo il determinante: se questo è diverso da zero, allora il minore è invertibile, in caso contrario no.

    Partiamo dall'unico minore di ordine 4: la matrice stessa. Calcolandone il determinante, si vede che è pari a zero. Procedendo con i minori di ordine 3, si vede che non ve n'è nessuno invertibile. Vi sono invece minori di ordine 2 a determinante non nullo, dunque la matrice ha rango 2 e dunque vi sono due vettori linearmente indipendenti.

    Ora veniamo alla richiesta "da orale". Chiamando i vettori v_1,v_2,v_3,v_4  per vedere se essi sono linearmente indipendenti mediante la definizione bisogna considerare quattro scalari a_1,a_2,a_3,a_4 e imporre

    a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4=\underline{0}

    se l'unica soluzione (a_1,a_2,a_3,a_4) è la soluzione banale, allora i vettori sono linearmente indipendenti, in caso contrario, se esiste almeno un'altra soluzione non banale oltre a quella identicamente nulla, allora i vettori sono linearmente dipendenti.

    Nota che la precedente equazione vettoriale coincide con un sistema lineare omogeneo, dato proprio da

    M\underline{a}=\underline{0}

    Si tratta dunque di risolvere il sistema lineare e di controllare quali sono le soluzioni.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • il sistema lineare lo posso risolvere anche con gauss, vero?    altrimenti con sostituzione perdo troppo tempo no?

    Risposta di matteo
  • Assolutamente sì, procedi pure con Gauss. La sostituzione in un sistema lineare 4x4 è un massacro...

    Namasté! 

    Risposta di Omega
 
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