Soluzioni
  • Eccomi, scusami per ieri, ho avuto problemi. Dimmi tutto :)

    Risposta di Ifrit
  • Non so se hai presente la prima parte della risposta al quesito di ieri. Ad ogni modo pervenendo al seguente limite

    {text}\lim_{n\to \infty}\frac{2^{\frac{1}{(n+1)^2}}(1-\frac{1}{2^{\frac{1}{(n+1)^2}}})}{2^{\frac{1}{n^2}}(1-\frac{1}{2^{\frac{1}{n}}})}=1{text}

    asserivi che esso fa 1. Può darsi che io commetta un errore, ma non viene ancora una forma indeterminata? Se no, potresti spiegarmi perché. Grazie

    Risposta di cannuccia
  • Si è esatto viene ancora una forma indeterminata, io l'ho risolta a mente, sorry Embarassed:

    \lim_{n\to \infty }\frac{2^{\frac{1}{(n+1)^2}}}{2^\frac{1}{n^2}}\lim_{n\to \infty }\frac{1-\frac{1}{2^{\frac{1}{(n+1)^2}}}}{1-\frac{1}{2^{\frac{1}{n^2}}}}

    (ho corretto un esponente)

    A questo punto osserva che:

    2^{\frac{1}{(n+1)^2}}\sim_{\infty} 2^{\frac{1}{n^2}}

    Cioè la funzione a primo membro è asintoticamente equivalente a quella del secondo membro, quindi

     

    \lim_{n\to \infty }\frac{2^\frac{1}{(n+1)^2}}{2^{\frac{1}{n^2}}}=\lim_{n\to \infty }\frac{2^{\frac{1}{n^2}}}{2^{\frac{1}{n^2}}}=1

     

    Per quanto riguarda il secondo limite, esso vale 1, questo perché le frazioni che hanno al denominatore

    2^{\frac{1}{(n+1)^2}}

    e

    2^{\frac{1}{n^2}}

    tendono a zero.

    Se ci sono domande sono qui :)

     

     

    Risposta di Ifrit
  •  

    Domanda:

    {text}2^{\frac{1}{(n+1)^2}}{text} e

    {text}2^{\frac{1}{n^2}}{text}

    per n che tende ad infinito non tendono entrambi ad 1?

    Se fosse vero allora

    {text}\lim_{n\to \infty }\frac{1-\frac{1}{2^{\frac{1}{n+1}}}}{1-\frac{1}{2^{\frac{1}{n^2}}}}{text}

    non sarebbe zero su zero?

    Risposta di cannuccia
  • Oddio, c'hai ragione, scusami ho detto una bella stupidagine, non so come mai mi è uscita questa corbelleria. Chiedo venia, risolviamo subito!

    Ricominciamo:

    Il limite era:

    \lim_{n\to \infty} \frac{2^{\frac{1}{(n+1)^2}}-1}{2^{\frac{1}{n^2}}-1}

    Ricordiamo il limite notevole:

    \lim_{t\to 0}\frac{a^{t}-1}{t}=\ln(a)

    Bene questo ci tornerà utile!!

    \lim_{n\to \infty}\frac{2^{\frac{1}{(n+1)^2}}-1}{2^{\frac{1}{n^2}}-1}

    Ci costruiremo il limite notevole scritto in precedenza, per farlo moltiplicheremo e divideremo per la stessa quantità :)

     

    \lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{2^{\frac{1}{(n+1)^2}}-1}{\frac{1}{(n+1)^2}}}{\frac{2^{\frac{1}{n^2}}-1}{\frac{1}{n^2}}}=

    Il primo limite è 1, è banale. Nel caso avessi bisogno fammelo sapere

    Concentriamoci sul secondo limite:

    \lim_{n\to \infty}\frac{\frac{2^{\frac{1}{(n+1)^2}}-1}{\frac{1}{(n+1)^2}}}{\frac{2^{\frac{1}{n^2}}-1}{\frac{1}{n^2}}}=

     

    Il limite al numeratore è il limite notevole camuffato, infatti ponendo t= \frac{1}{(n+1)^2} ed osservando che quando n tende a infinito, t tende a zero, il limite

    \lim_{n\to \infty}\frac{2^{\frac{1}{(n+1)^2}}-1}{\frac{1}{(n+1)^2}}

    si riscrive come:

    \lim_{t\to 0}\frac{2^{t}-1}{t}= \ln(2)

     

    Il limite al denominato si risolve ponendo t=\frac{1}{n^2}. Diverrà:

    \lim_{n\to \infty}\frac{2^t-1}{t}= \ln(2)

     

    Dunque:

    \lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{2^{\frac{1}{(n+1)^2}}-1}{\frac{1}{(n+1)^2}}}{\frac{2^{\frac{1}{n^2}}-1}{\frac{1}{n^2}}}=1\cdot\frac{\ln(2)}{\ln(2)}=1

     

    Ti prego di scusarmi, ho fatto un errore imperdonabile :(

    Risposta di Ifrit
  • Ho tirato un gran sospiro di sollievo, perché pur avendo una cultura matematica ancora insufficiente credo di saperci fare con i calcoli spiccioli. Infatti poiché lo studio di una serie numerica non è un fatto automatico come risolvere un'equazione (per quanto eventualmente complicata) ancora arranco nell'applicazione dei vari criteri al momento opportuno. Un'infortunio può capitare anche alle menti più ferrate, ma sei stato di grande aiuto. Ti ringrazio e spero di poterci incontrare per qualche altro quesito.

    Risposta di cannuccia
  • Grazie per aver compreso, purtroppo alle volte il mio cervello va per i fatti suoi. xD

    Risposta di Ifrit
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