Soluzioni
  • Sia g:\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} la forma bilineare tale che:

    g(\mathbf{x},\mathbf{y}) = 4x_1y_1+2x_2y_2-3x_2y_3-3x_3y_2+9x_3y_3

    Dobbiamo dimostrare che g è un prodotto scalare, che è definito positivo e calcolare una base ortonormale di \mathbb{R}^3 rispetto a g.

    Verifica prodotto scalare

    In generale, una forma bilineare definita su uno spazio vettoriale reale è un prodotto scalare se e solo se è simmetrica, dunque g è un prodotto scalare su \mathbb{R}^3 se e solo se

    g(\mathbf{x},\mathbf{y}) = g(\mathbf{y},\mathbf{x}) \ \ \forall \ \mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{R}^3

    Siano, allora

    \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3) \ \ ; \ \ \mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)

    due elementi di \mathbb{R}^3. Per com'è definita g sappiamo che

    g(\mathbf{x},\mathbf{y}) = 4x_1y_1+2x_2y_2-3x_2y_3-3x_3y_2+9x_3y_3=

    per la proprietà commutativa del prodotto tra numeri reali

    =4y_1x_1+2y_2x_2-3y_3x_2-3y_2x_3+9y_3x_3 = g(\mathbf{y},\mathbf{x})

    Da ciò segue che g è simmetrica e quindi è un prodotto scalare su \mathbb{R}^3

    Studio del segno del prodotto scalare

    Sia A la matrice associata al prodotto scalare g rispetto alla base canonica di \mathbb{R}^3:

    A=\begin{pmatrix}4 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -3 \\ 0 & -3 & 9\end{pmatrix}

    In caso di dubbi ricordiamo che A è una matrice simmetrica di ordine tre in cui l'elemento di posto (i,j) è il coefficiente del termine x_iy_j dell'espressione che definisce il prodotto scalare.

    g è un prodotto scalare definito positivo se e solo se la matrice A è definita positiva.

    Per il criterio di Sylvester, una condizione necessaria e sufficiente affinché A sia definita positiva è che tutti i suoi minori di testa siano positivi.

    Per ogni k \in \{1,2,3\}, i minori di testa di A sono i determinanti delle sottomatrici A_k di ordine k che si ottengono da A eliminando le ultime 3-k righe e le ultime 3-k colonne, ossia:

    \\ \mbox{det}(A_1) = \mbox{det}(4) = 4 \\ \\ \mbox{det}(A_2) = \mbox{det}\begin{pmatrix}4&0 \\ 0&2\end{pmatrix} = 8 \\ \\ \mbox{det}(A_3)=\mbox{det}(A) = \begin{pmatrix}4 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -3 \\ 0 & -3 & 9\end{pmatrix} = 36

    Poiché sono tutti positivi, il prodotto scalare g è definito positivo.

    Base ortonormale di \mathbb{R}^3 rispetto a g

    Per costruire una base di \mathbb{R}^3 che sia ortonormale rispetto al prodotto scalare g procediamo come segue:

    - partiamo da una base nota di \mathbb{R}^3 come, ad esempio, la base canonica:

    \\ \mathcal{C}=\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\} = \\ \\ = \{(1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1)\}

    - Rendiamo \mathcal{C} una base ortogonale rispetto a g applicando il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.

    - Ortonormalizziamo la base trovata dividendo ciascun vettore per la relativa norma indotta dal prodotto scalare g.

    Procediamo!

    Per Gram-Schmidt, gli elementi della base ortogonale sono i vettori

    \\ \mathbf{w}_1=\mathbf{e}_1=(1,0,0) \\ \\ \mathbf{w}_2=\mathbf{e}_2 - \frac{g(\mathbf{e}_2,\mathbf{w}_1)}{g(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_1)}\mathbf{w}_1 \\ \\ \\ \mathbf{w}_3=\mathbf{e}_3 - \frac{g(\mathbf{e}_3,\mathbf{w}_1)}{g(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_1)}\mathbf{w}_1 - \frac{g(\mathbf{e}_3,\mathbf{w}_2)}{g(\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_2)}\mathbf{w}_2

    Onde evitare di fare confusione calcoliamo a parte i prodotti scalari che compaiono nell'espressione con cui determineremo \mathbf{w}_2:

    \\ g(\mathbf{e}_2,\mathbf{w}_1) = g((0,1,0),(1,0,0)) = \\ \\ = 4 \cdot 0 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 0 - 3 \cdot 1 \cdot 0 - 3 \cdot 0 \cdot 0 + 9 \cdot 0 \cdot 0 = 0 \\ \\ g(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1) = g((1,0,0), (1,0,0)) = \\ \\ = 4 \cdot 1 \cdot \ + 2 \cdot 0 \cdot 0 - 3 \cdot 0 \cdot 0 - 3 \cdot 0 \cdot 0 + 9 \cdot 0 \cdot 0 = 4

    di conseguenza

    \\ \mathbf{w}_2=\mathbf{e}_2 - \frac{g(\mathbf{e}_2,\mathbf{w}_1)}{g(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_1)}\mathbf{w}_1 = \mathbf{e}_2 - 0 (\mathbf{w}_1) = \mathbf{e}_2 = (0,1,0)

    Come fatto poco fa, prima di calcolare \mathbf{w}_3 esplicitiamo i prodotti scalari a secondo membro

    g(\mathbf{e}_3,\mathbf{w}_1)=g((0,0,1),(1,0,0)) = \\ \\ = 4 \cdot 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot 0 - 3 \cdot 0 \cdot 0 - 3 \cdot 1 \cdot 0 + 9 \cdot 1 \cdot 0 = 0 \\ \\ g(\mathbf{e}_3, \mathbf{w}_2)=g((0,0,1), (0,1,0)) = \\ \\ = 4 \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \cdot 1 - 3 \cdot 0 \cdot 0 - 3 \cdot 1 \cdot 1 + 9 \cdot 1 \cdot 0 = -3 \\ \\ g(\mathbf{w}_2, \mathbf{w}_2)= g((0,1,0), (0,1,0)) = \\ \\ = 4 \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot 1 - 3 \cdot 1 \cdot 0 - 3 \cdot 0 \cdot 1 + 9 \cdot 0 \cdot 0 = 2

    pertanto:

    \\ \mathbf{w}_3=\mathbf{e}_3 - \frac{g(\mathbf{e}_3,\mathbf{w}_1)}{g(\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_1)}\mathbf{w}_1 - \frac{g(\mathbf{e}_3,\mathbf{w}_2)}{g(\mathbf{w}_2,\mathbf{w}_2)}\mathbf{w}_2 = \\ \\ \\ = (0,0,1)-0(1,0,0)-\frac{-3}{2}(0,1,0)= \\ \\ \\ = (0,0,1)+\frac{3}{2}(0,1,0) = \left(0,\frac{3}{2},1\right)

    In definitiva, una base ortogonale di \mathbb{R}^3 rispetto a g è

    \mathcal{B}=\{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_3\} = \\ \\ \left\{(1,0,0), \ (0,1,0), \ \left(0,\frac{3}{2},1\right)\right\}

    Ortonormalizziamola!

    La base ortonormale associata a \mathcal{B} è

    \mathcal{B}'=\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3\}

    dove:

    \mathbf{u}_1 = \frac{1}{||\mathbf{w}_1||} \ \mathbf{w}_1 \ \ ; \ \ \mathbf{u}_2 = \frac{1}{||\mathbf{w}_2||} \ \mathbf{w}_2 \ \ ; \ \ \mathbf{u}_3 = \frac{1}{||\mathbf{w}_3||} \ \mathbf{w}_3

    Determiniamo le norme:

    \\ ||\mathbf{w}_1|| = \sqrt{g(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1)}=\sqrt{4}=2 \\ \\ ||\mathbf{w}_2|| = \sqrt{g(\mathbf{w}_2, \mathbf{w}_2)}=\sqrt{2} \\ \\ ||\mathbf{w}_3|| = \sqrt{g(\mathbf{w}_3, \mathbf{w}_3)}

    Calcoliamo a parte il prodotto scalare di \mathbf{w}_3 con se stesso

    \\ g(\mathbf{w}_3, \mathbf{w}_3) = g \left(\left(0,\frac{3}{2},1\right),\left(0,\frac{3}{2},1\right)\right) = \\ \\ \\ = 4 \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{3}{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} + 9 \cdot 1 \cdot 1 = \\ \\ \\ = \frac{9}{2}-\frac{9}{2}-\frac{9}{2}+9 = \frac{9}{2}

    dunque

    ||\mathbf{w}_3|| = \sqrt{g(\mathbf{w}_3, \mathbf{w}_3)} = \sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}

    In definitiva:

    \\ \mathbf{u}_1 = \frac{1}{||\mathbf{w}_1||} \ \mathbf{w}_1 = \frac{1}{2} (1,0,0) = \left(\frac{1}{2},0,0\right) \\ \\ \\ \mathbf{u}_2 = \frac{1}{||\mathbf{w}_2||} \ \mathbf{w}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,0) = \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right) \\ \\ \\ \mathbf{u}_3 = \frac{1}{||\mathbf{w}_3||} \ \mathbf{w}_3 = \frac{\sqrt{2}}{3}\left(0,\frac{3}{2},1\right) = \left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{3}\right)

    Per concludere, una base ortonormale di \mathbb{R}^3 rispetto a g è:

    \\ \mathcal{B}'=\{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3\} = \\ \\ = \left\{\left(\frac{1}{2},0,0\right), \ \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right), \ \left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{3}\right)\right\}

    Ecco fatto!

    Risposta di Galois
 
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