Soluzioni
  • Ciao Michele770 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Dimostriamo che è un prodotto scalare dimostrando che è un operatore bilineare:

    Simmetria

    g(\mathbf{x}, \mathbf{y})= g(\mathbf{y}, \mathbf{x})

    dove \mathbf{x}=(x_1, x_2, x_3), \mathbf{y}= (y_1, y_2, y_3)

    Iniziamo col calcolo di g(\mathbf{x}, \mathbf{y})

    g(\mathbf{x}, \mathbf{y})= 4x_1 y_1+2 x_2 y_2-3 x_2 y_3-3x_3 y_2+9x_3 y_3

    g(\mathbf{y}, \mathbf{x})= 4y_1 x_1+2 y_2 x_2-3 y_2 x_3-3y_3 x_2+9y_3 x_3

    La simmetria è soddisfatta.

     

    Mostriamo la linearità rispetto alla prima componete:

    Additività

    g(\mathbf{x}+\mathbf{z}, \mathbf{y})= g(\mathbf{x}, \mathbf{y})+g(\mathbf{z}, \mathf{y})

    Prima di procedere osserviamo che:

    \mathbf{x}+\mathbf{z}= (x_1+z_1, x_2+z_2, x_3+z_3)

    di conseguenza:

    g(\mathbf{x}+\mathbf{z}, \mathbf{y})=

    4(x_1+z_1)y_1+2(x_2+z_2)y_2-3(x_2+z_2)y_3-3(x_3+z_3)y_2+9(x_3+z_3) y_3=

    Facendo un po' di conti:

    (4x_1y_2+2x_2y_2-3x_2y_3-3x_3y_2+9x_3y_3)+(4z_1y_1+2z_2y_2-3z_2y_3-3z_3y_2+9z_3y_3)=

    = g(\mathbf{x}, \mathbf{y})+g(\mathbf{z}, \mathbf{y})

    Omogeneità rispetto alla prima componente:

    Dobbiamo mostrare che \forall\mathbf{x}, \mathbf{y}\in\mathbb{R}^3 e per ogni k\in \mathbb{R} si ha:

     

    g(k \mathbf{x}, \mathbf{y})= kg(\mathbf{x},\mathbf{ y})

    k\mathbf{x}= (k x_1, kx_2, k x_3)

    Dunque:

    g(k \mathbf{x}, \mathbf{y})=4kx_1 y_1+2 kx_2 y_2-3 kx_2 y_3-3kx_3 y_2+9kx_3 y_3=

    k(4x_1 y_1+2 x_2 y_2-3 x_2 y_3-3x_3 y_2+9x_3 y_3)= k g(\mathbf{x}, \mathbf{y})

    Queste condizioni ci assicurano che g è un prodotto scalare.

    ___________________________________________________

    Fino a qui ti è chiaro?

    Risposta di Ifrit
  • Per costruire una base ortogonale, rispetto al prodotto scalare g, partiamo dalla base canonica di \mathbb{R}^3

    e_1= (1, 0,0)

    e_2= (0, 1,0)

    e_3= (0, 0, 1)

    e tramite il processo di Gram-Schmitd costruiamo una nuova base, ortogonale rispetto a g:

    Inneschiamo l'algoritmo:

    u_1= e_1

    u_2= e_2- \frac{g(e_2, u_1)}{g(u_1, u_1)}  u_1

    u_3= e_3-\frac{g(e_3, u_1)}{g(u_1, u_1)} u_1- \frac{g(e_3, u_2)}{g(u_2, u_2)}u_2

    Ora:

    g(u_1, u_1)= 4

    g(e_2, u_1)=0

    Dunque

    u_2= e_2=(0, 1, 0)

    Inoltre

    g(e_3, u_1)= 0

    g(u_2, u_2)=2

    g(e_3, u_2)=-3

     

    Dunque:

    u_3= e_3+\frac{3}{2} u_2= (0,0,1)+\left(0,\frac{3}{2}, 0\right)= \left(0, \frac{3}{2}, 1\right)

     

    Una base ortogonale è quindi:

    \left\{(1,0,0), (0,1,0),\left(0, \frac{3}{2}, 1\right)\right\}

    Risposta di Ifrit
  • un momento...

    Risposta di michele770
  • mi potresti spiegare meglio dopo le formule di gram schmidt ???

     

    Risposta di michele770
  • come g(u1,u1) = 4    ????   sicuro????

     

    Risposta di michele770
  • g(u_1, u_1)= g((1,0,0), (1,0,0))= 4 \cdot 1\cdot 1=4

     

    Come mai ti è venuto questo dubbio? Comunque l'algoritmo di Gram-Schmidt è un metodo per costruire, partendo da una famiglia di vettori, un'altra famiglia di vettori ortogonali, rispetto al prodotto scalare definito:

    Supponiamo di avere la famiglia di vettori non nulli e indipendenti:

    {v_1, v_2, \cdots, v_n}

    Ponendo:

    u_1= v_1

    inneschiamo l'algoritmo:

    u_2= v_2-\frac{g(v_2, u_1)}{g(u_1, u_1)}u_1

    u_3= v_3-\frac{g(v_3, u_1)}{g(u_1, u_1)}u_1-\frac{g(v_3, u_2)}{g(u_2, u_2)}u_2

    :

    u_k= v_k-\sum_{i=1}^{k-1}\frac{g(v_k, u_i)}{g(u_i, u_i)}u_i

    La famiglia di vettori risultante sarà artogonale.

    Risposta di Ifrit
  • ho capito il procedimento.....ma in g(u1,u1) dovremmo moltiplicare il vettore u1 per se stesso , giusto ????

    Risposta di michele770
  • No, vuol dire utilizzare la definizione di prodotto scalare fornita da te :)

    Risposta di Ifrit
  • Ah ho capito siamo tornati alla definizione di g dell'esercizio :

    g((x,y,z),(x',y',z')) = 4xx' + 2yy' - 3yz' - 3zy' + 9zz'

    ecco perchè quel 4.....

    Risposta di michele770
  • e ancora g(e3,u2) =  ((0,0,1),(0,1,0)) = -3                  xke -3 ???????  dovrebbe essere 0

    Risposta di michele770
  • Scusa il ritardo, oggi abbiamo un bel daffare xD

    g(e_3, u_2)= g((0,0, 1), (0,1, 0))=4*0*0+2*0*0-3*0*0-3*1*1+9*0*0

    =-3

     

    Ti torna ora ;)

     

    Risposta di Ifrit
  • chiarissimo !!!! 

    Andiamo avanti con il terzo quesito .....

     

    Risposta di michele770
  • Ho corretto, purtroppo ho avuto problemi di formattazione.

    Ok, allora prima di tutto bisogna esprimere i due vettori nella base ortonormale:

    B=\{(1,0,0), (0,1, 0), \left(0, \frac{3}{2}, 1\right)\}

    Ottenendo i vettori visti rispetto alla base B, che chiamo v', w'

    Fatto questo, calcoli:

    g(v', w')

    g(v', v')

    g(w', w')

    Infine:

    \theta= \arccos\left(\frac{g(v', w')}{\sqrt{g(w', w') g(v', v')}}\right)

     

    Questo sarà l'angolo cercato. Prova a fare i conti se non ci riesci li facciamo insieme

    Risposta di Ifrit
  • cavolo mi vengono valori strani....meglio se provi anche te a fare i calcoli xfav

    Risposta di michele770
  • Un'idea migliore: posta i tuoi calcoli, grazie.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Allora :

    g(v,w) = ((1,1,0),(0,0,1))=-3

    g(v,v) = ((1,1,0),(1,1,0))=6

    g(w,w)=((0,0,1),(0,0,1))=9

     

    arccos  (- 3/radq(54) )

     

    giusto ????

    Risposta di michele770
  • Ok, effettivamente c'è qualcosa che non va. Facciamo così visto che l'esercizio deve essere ricontrollato, lo spostiamo sul forum. Vediamo cosa possiamo fare!

    Risposta di Ifrit
  • quindi mi sposto nel forum ???

    Risposta di michele770
  • dove lo trovo nel forum????

     

    Risposta di michele770
  • Apri una discussione nel Forum, riportando il link di questa D&R, dopodiché clicca "Problema risolto". Grazie!

    Risposta di Omega
  • Apri la discussione nel forum. Stasera sul tardi avrai la soluzione :)

     

    Purtroppo è molto probabile che io abbia commesso errori di conto. Meglio farlo con calma ;)

    Risposta di Ifrit
  • fatto...ora ?

     

    Risposta di michele770
  • ok allora ora possiamo passare all'altra domanda ???

    Risposta di michele770
  • Devi darlo là l'avviso, e non qua.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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