Soluzioni
  • Consideriamo il limite parametrico

    \lim_{x\to0^{+}}\frac{e^{x}-\log(1-x)-\sin(2x)-\cos(x)-\frac{3}{2}x^2}{x^a(\sqrt{1-x}-\cosh(x))}=(\bullet)

    il quale va studiato al variare del parametro reale a.

    Per risolvere in scioltezza il problema possiamo affidarci al teorema di Taylor ed in particolare agli sviluppi notevoli di Taylor.

    Utilizziamo lo sviluppo notevole della funzione esponenziale arrestato al terzo ordine

    e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)

    Dallo sviluppo notevole della funzione logaritmo arrestato al terzo ordine

    \log(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+o(t^3)

    mediante il quale otteniamo quello della funzione y=\log(1-x) rimpiazzando ad ogni occorrenza di t il termine -x

    \log(1-x)=(-x)-\frac{(-x)^2}{2}+\frac{(-x)^3}{3}+o((-x)^3)=

    In accordo con le proprietà delle potenze e quelle degli o piccolo otteniamo

    =-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+o(x^3)

    Dallo sviluppo notevole della funzione seno arrestato al terzo ordine

    \sin(t)=t-\frac{t^3}{6}+o(t^3)

    otteniamo quello relativo alla funzione y=\sin(2x) rimpiazzando semplicemente ad ogni occorrenza di t il monomio 2x

    \sin(2x)=(2x)-\frac{(2x)^3}{6}+o((2x)^3)=2x-\frac{4x^3}{3}+o(x^3)

    Sviluppiamo inoltre il coseno

    \cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+o(x^3)

    Grazie agli sviluppi ottenuti possiamo determinare lo sviluppo del numeratore, rimpiazzando i termini e sommando tra loro i termini simili

    \\ e^{x}-\log(1-x)-\sin(2x)-\cos(x)-\frac{3}{2}x^2= \\ \\ \\ =1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-2x+\frac{4x^3}{3}-1+\frac{x^2}{2}-\frac{3x^3}{2}+o(x^3)= \\ \\ \\ = \frac{11}{6}x^3+o(x^3)

    Mettiamo da parte tale risultato e concentriamo le nostre attenzioni al denominatore.

    Grazie allo sviluppo notevole della potenza di binomio

    \\ (1+t)^{\alpha}=\\ \\ \\ =1+\alpha t+\frac{\alpha (\alpha-1) t^2}{2}+\frac{\alpha(\alpha-2)(\alpha-2)t^3}{6}+o(t^3)

    possiamo costruire lo sviluppo associato alla funzione irrazionale y=\sqrt{1-x}; è sufficiente esprimere la radice sotto forma di potenza con esponente fratto e rimpiazzare ad ogni occorrenza di t il monomio -x:

    \\ \sqrt{1-x}=(1-x)^{\frac{1}{2}}= \\ \\ \\ =1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}-\frac{x^3}{16}+o(x^3)

    Possiamo infine sviluppare la funzione coseno iperbolico

    \cosh(x)=1+\frac{x^2}{2}+o(x^3)

    e determinare lo sviluppo del denominatore

    x^{a}(\sqrt{1-x}-\cosh(x))=x^{a}\left(-\frac{x}{2}-\frac{5x^2}{8}-\frac{x^3}{16}+o(x^3)\right)

    Poiché x\to0 possiamo trascurare gli infinitesimi di ordine superiore sia al numeratore che al denominatore e creare le seguenti equivalenze asintotiche

    \\ e^{x}-\log(1-x)-\sin(2x)-\cos(x)-\frac{3}{2}x^2\sim_{x\to0}\frac{11}{6}x^3 \\ \\ \\ x^{a}\left(\sqrt{1-x}-\cosh(x)\right)\sim_{x\to0}x^{a}\cdot\left(-\frac{x}{2}\right)=-\frac{x^{a+1}}{2}

    grazie alle quali otteniamo il limite equivalente a quello iniziale

    (\bullet)=\lim_{x\to0^{+}}\frac{\frac{11}{6}x^{3}}{-\frac{x^{a+1}}{2}}=\lim_{x\to0^{+}}-\frac{11}{6}\cdot 2\cdot x^{2-a}

    Tenendo conto del comportamento della funzione potenza nell'intorno destro di 0 concludiamo che:

    - se l'esponente 2-a è positivo allora il limite è 0;

    - se l'esponente 2-a è nullo allora il limite è -\frac{11}{3};

    - se l'esponente 2-a è negativo allora il limite è -\infty.

    In definitiva

    \lim_{x\to0^{+}}\frac{e^{x}-\log(1-x)-\sin(2x)-\cos(x)-\frac{3}{2}x^2}{x^a\left(\sqrt{1-x}-\cosh(x)\right)}=\begin{cases}0&\mbox{se}\ a<2 \\ -\frac{11}{3}&\mbox{se} \ a=2 \\ -\infty&\mbox{se} \ a>2\end{cases}

    Possiamo mettere un punto al problema.

    Risposta di Ifrit
 
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