Triangolo rettangolo inscritto in un semicerchio, mediana relativa all' ipotenusa

Mi spiegate come fare questo problema con un triangolo rettangolo inscritto in una semicirconferenza?

 

In un triangolo inscritto in un semicerchio il rapporto di un lato e della mediana relativa all'ipotenusa è 6/5 e la loro somma è 88 dm; calcola le aree del semicerchio e del triangolo. (Suggerimento: ricorda che la mediana relativa all'ipotenusa ... ).

In Medie - Geometria - Domanda di Nella

Soluzioni

  • Ciao Nella. :)

    Disegniamo un semicerchio ed al suo interno inscriviamo un triangolo, la cui base AB coinciderà con il diametro della semicirconferenza. Ne segue che AO=OB, ossia la mediana relativa alla base del triangolo coincide con il raggio del semicerchio.

     

    Triangolo inscritto in un semicerchio

     

    Inoltre, per una proprietà dei triangoli inscritti, il triangolo ABC è un triangolo rettangolo di ipotenusa AB.

    Dai dati forniti dal problema sappiamo che

    \frac{BC}{OC}=\frac{6}{5} \mbox{ da cui } BC=\frac{6}{5}OC

    e che

    BC+OC=88 \mbox{ dm}

    Per trovare la misura del lato BC e della mediana OC procediamo come nei problemi di primo grado, ossia poniamo OC=x. Dalla prima relazione possiamo ricavare anche la misura di BC in funzione dell'incognita

    BC=\frac{6}{5}OC=\frac{6}{5}x

    Sostituendo nella seconda relazione troviamo un'equazione di primo grado nell'incognita x:

    \frac{6}{5}x+x=88 \to \frac{11}{5}x=88

    da cui

    x=\frac{5}{11}\times 88 =40

    Ne segue allora che

    OC=x=40 \mbox{ dm}

    BC=\frac{6}{5}OC=\frac{6}{5}\times 40 = 48 \mbox{ dm}

    Per quanto osservato all'inizio possiamo subito ricavare la misura dell'ipotenusa del triangolo rettangolo che è il doppio della mediana

    AB=2OC=80 \mbox{ cm}

    e quindi, utilizzando il teorema di Pitagora, possiamo trovare la misura dell'altro cateto

    AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{80^2-48^2}=\sqrt{4096} =64 \mbox{ dm}

    Abbiamo tutto quello che ci occorre per determinare le aree di triangolo e semicerchio

    \mbox{Area semicerchio}=\frac{\pi OC^2}{2}=\frac{\pi \times 1600}{2}\simeq 2512 \mbox{ dm}^2

    (Al posto di Pi Greco ho sostituito il valore approssimato \pi \simeq 3,14)

    \mbox{Area triangolo}=\frac{AC \times BC}{2}=\frac{\64 \times 48}{2}= 1536 \mbox{ dm}^2

    Risposta di Galois
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