Integrale doppio con cerchio e retta

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Salve, mi servirebbe la risoluzione di un integrale doppio su un insieme definito da un cerchio e una retta. Mi potete dire come calcolarlo?

 

∫ ∫_(D)(1)/((x^(2)+y^(2))^(2))dxdy

 

Come dominio di integrazione abbiamo D = x^(2)+y^(2) ≥ 2 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

 

Grazie mille

Domanda di federico

 
Soluzioni

  • Ciao Federico :) vogliamo calcolare l'integrale doppio

    iint_D (1)/((x^2+y^2)^2)dx dy

    sul dominio di integrazione

    D = (x, y): x^2+y^2 ≥ 2, x ≥ 0, y ≥ 0

    Nota che sarebbe utile passare in coordinate polari:

    x = rcos(t)

    y = rsin(t)

    Grazie a questa trasformazione, cambia anche il dominio:

    La condizione

    x^2+y^2 ≥ 2

    diviene

    r^2(cos^2(t)+sin^2(t)) = r^2 ≥ 2

    Da qui segue che:

    r ≥ √(2)

    Nelle altre due condizioni teniamo presente che r deve essere positivo

    x ≥ 0 ⇒ rcos(t) ≥ 0 ⇒ cos(t) ≥ 0 ⇒-(π)/(2) ≤ t ≤ (π)/(2) ; y ≥ 0 ⇒ rsin(t) ≥ 0 ⇒ sin(t) ≥ 0 ⇒ 0 ≤ t ≤ π

    ossia

    0 ≤ t ≤ (π)/(2)

    Quindi, il dominio trasformato è

    D = (r, t): r ≥ √(2), 0 ≤ t ≤ (π)/(2)

    Inoltre la funzione integranda è:

    f(r, t) = (1)/((r^2(cos^2(t)+sin^2(t)))^2) = (1)/(r^4)

    Lo Jacobiano associato alla sostituzione effettuata è r.

    L'integrale diventa:

    ∫_(√(2))^(∞) ∫_0^((π)/(2))(1)/(r^4)·r dt dr =

    = ∫_(√(2))^(∞) (1)/(r^3)dr ∫_0^((π)/(2))dt

    Risolvendo gli integrali il risultato è (π)/(8).

    Se ci sono problemi sono qui. :D

    Risposta di Ifrit

  • Perfetto come sempre, grazie mille!

    Risposta di federico
 
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