Soluzioni
  • Consideriamo la serie numerica

    \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3n}{e^{-n}+n^6}

    e osserviamo innanzitutto che è a termini positivi, infatti il termine generale

    a_n=\frac{3n}{e^{-n}+n^6}

    è positivo per ogni n\in\mathbb{N}.

    La serie soddisfa inoltre la condizione necessaria per la convergenza, infatti

    \\ \lim_{n\to+\infty}a_n=\lim_{n\to+\infty}\frac{3n}{e^{-n}+n^6}= \\ \\ \\ =\lim_{n\to+\infty}\frac{3n}{n^6}=\lim_{n\to +\infty}\frac{3}{n^5}=0

    Per dimostrare che la serie converge usiamo il criterio del confronto. L'obiettivo è quello di determinare una successione di numeri reali positivi (b_n)_{n\in\mathbb{N}} che rispetta le condizioni:

    \\ \bullet \ \ \ a_n\le b_n \ \ \ \forall n\in\mathbb{N} \\ \\ \bullet \ \ \ \sum_{n=1}^{+\infty}b_n \ \grave{\mbox{e}} \ \mbox{convergente}

    Se una siffatta successione esiste, il criterio del confronto garantirà la convergenza della serie iniziale. Per ricavare una successione b_n che soddisfi le precedenti condizioni, basta notare che sussiste la minorazione

    e^{-n}+n^6>n^6 \ \ \ \forall n\in\mathbb{N}

    Se passiamo ai reciproci dei membri e invertiamo il verso, otteniamo la seguente relazione

    \frac{1}{e^{-n}+n^6}<\frac{1}{n^6}

    Moltiplichiamo membro a membro per 3n, che è positivo e quindi non inverte il verso, dopodiché semplifichiamo

    \frac{3n}{e^{-n}+n^6}<\frac{3n}{n^6}=\frac{3}{n^5} \ \ \ \forall n\in\mathbb{N}-\{0\}

    Alla luce di ciò b_n=\frac{3}{n^5} maggiora la successione a_n, e inoltre la serie

    \sum_{n=1}^{+\infty}b_n=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3}{n^5}=3\cdot\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^5}

    è notoriamente convergente: a meno del fattore moltiplicativo, è infatti una serie armonica generalizzata con esponente p=5>1.

    In accordo con il criterio del confronto, concludiamo che la serie

    \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3n}{e^{-n}+n^6}

    è convergente!

    Risposta di Ifrit
 
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