Punti di estremo relativo di una funzione fratta

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Ciao a tutti, dovrei trovare i punti di estremo relativo per la seguente funzione fratta. Come devo procedere? Mi mostrate il procedimento per calcolare gli estremanti relativi?

 

y = (ln(x))/(x^4)

 

Grazie!

Domanda di luna12

 
Soluzioni

  • Ciao luna12, arrivo io :P

    Risposta di Ifrit

  • Come sempre iniziamo col dominio della funzione:

    f(x) = (ln(x))/(x^4)

    Abbiamo un logaritmo quindi il suo argomento deve essere maggiore di zero:

    x > 0

    inoltre il denominatore deve essere diverso da zero, ma questa condizione è già inglobata nella condizione precedente.

    Il dominio è quindi:

    dom(f) = x: x > 0

    Calcoliamo la derivata prima della funzione utilizzando la regola di derivazione del quoziente:

    f'(x) = ((1)/(x)·x^4-ln(x)·4x^3)/((x^4)^2) =

    ((1-4ln(x)))/(x^5)

     1-4ln(x) = 0 ⇒ ln(x) = (1)/(4) ⇒ x = e^((1)/(4))

    Lo studio del segno della derivata prima dipende dal numeratore:

    1-4ln(x) > 0 ⇔ x < e^((1)/(4))

    La funzione cresce in (0, e^((1)/(4)))

    decresce altrove, quindi il punto x_0 = e^((1)/(4)) è un punto di massimo assoluto :D

    Risposta di Ifrit
 
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