Soluzioni
  • Ciao Anto87 :)

    Per poter trovare l'ipotenusa del triangolo rettangolo dobbiamo innanzitutto calcolare l'area della superficie laterale della piramide regolare a base triangolare a cui esso è equivalente. Tale piramide, essendo regolare avrà come base un triangolo equilatero.

    Tenendo ben presenti le formule sulla piramide regolare abbiamo che

    S_{lat}=\frac{2p_{base}\times a}{2}

    dove a indica l'apotema della piramide e 2p_{base} il perimetro del triangolo equilatero di base che, detto L il suo lato, sarà uguale a

    2p_{base}=3L

    Pertanto

    S_{lat}=\frac{3L \times a}{2}

    Grazie ai dati forniti dal problema sappiamo che

    a=L+14 \mbox{ cm}

    \frac{a}{L}=\frac{16}{9} \to a=\frac{16}{9}L

    Sostituendo nella prima relazione

    \underbrace{\frac{16}{9}L}_{a}=L+14 \mbox{ cm}

    ricadiamo in un'equazione di primo grado.

    Portando le incognite a primo membro ed eseguendo la somma (come in una normale somma tra frazioni) risulta

    \frac{16}{9}L-L=14 \mbox{ cm}

    \frac{7}{9}L=14 \mbox{ cm}

    \frac{7}{9}L=14 \times \frac{9}{7} = 18 \mbox{ cm}

    Di conseguenza

    a=L+14 \mbox{ cm}=18+14=32 \mbox{ cm}

    Possiamo ora trovare l'area della superficie laterale della piramide

    S_{lat}=\frac{3L \times a}{2}=\frac{(3\times 18 \times 32}{2} = 864 \mbox{ cm}^2

     

    Passiamo ora al triangolo rettangolo. Poiché il triangolo è equivalente alla superficie laterale della piramide

    A_{triangolo}=S_{lat}=864 \mbox{ cm}^2

    Ricordando le formule sull'area, detti c_1 \mbox{ e } c_2 i due cateti del triangolo rettangolo si ha

    \frac{c_1 \times c_2}{2}=864 \mbox{ cm}^2

    ossia

    c_1 \times c_2=1728 \mbox{ cm}^2

    Grazie ai dati forniti dal problema sappiamo inoltre che

    \frac{c_1}{c_2}=\frac{4}{3} \to c_1=\frac{4}{3}c_2

    Come prima, sostituendo questa relazione nella prima ricadiamo in un'equazione

    \underbrace{\frac{4}{3}c_2}_{c_1} \times c_2 = 1728 \mbox{ cm}^2

    \frac{4}{3} c_2^2 = 1728 \mbox{ cm}^2

    c_2^2=\frac{3}{4}\times 1728 = 1296 \mbox{ cm}^2

    Per trovare la lunghezza di c_2 ci basta estrarre la radice quadrata

    c_2=\sqrt{1296}= 36\mbox{ cm}

    Possiamo ora ricavare

    c_1=\frac{4}{3}c_2 = \frac{4}{3}\times 36 = 48 \mbox{ cm}

    Essendo note le misure dei due cateti, ricorrendo la teorema di Pitagora possiamo calcolare l'ipotenusa

    i=\sqrt{c_1^2+c_2^2} = \sqrt{48^2+36^2}=\sqrt{3600}=60 \mbox{ cm}

    Risposta di Omega
 
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