Ipotenusa di un triangolo rettangolo equivalente a una piramide

Question

Mi spieghereste come calcolare l'ipotenusa di un triangolo rettangolo in un problema sulla piramide?In una piramide regolare triangolare l'apotema supera lo sigolo di base di 14 cm ed il loro rapporto è 16/9. Calcola l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che è equivalente alla superficie laterale della piramide ed ha i cateti nel rapporto 4/3.

Fulvio Sbranchella · Accepted Answer

Ciao Anto87 :) Per poter trovare l'ipotenusa del triangolo rettangolo dobbiamo innanzitutto calcolare l'area della superficie laterale della piramide regolare a base triangolare a cui esso è equivalente. Tale piramide, essendo regolare avrà come base un triangolo equilatero. Tenendo ben presenti le formule sulla piramide regolare abbiamo che S_(lat) = (2p_(base)×a)/(2) dove a indica l'apotema della piramide e 2p_(base) il perimetro del triangolo equilatero di base che, detto L il suo lato, sarà uguale a 2p_(base) = 3L Pertanto S_(lat) = (3L×a)/(2) Grazie ai dati forniti dal problema sappiamo che a = L+14 cm (a)/(L) = (16)/(9) → a = (16)/(9)L Sostituendo nella prima relazione (16)/(9)L (a) = L+14 cm ricadiamo in un'equazione di primo grado. Portando le incognite a primo membro ed eseguendo la somma (come in una normale somma tra frazioni) risulta (16)/(9)L-L = 14 cm (7)/(9)L = 14 cm (7)/(9)L = 14×(9)/(7) = 18 cm Di conseguenza a = L+14 cm = 18+14 = 32 cm Possiamo ora trovare l'area della superficie laterale della piramide S_(lat) = (3L×a)/(2) = ((3×18×32)/(2) = 864 cm^2 Passiamo ora al triangolo rettangolo. Poiché il triangolo è equivalente alla superficie laterale della piramide A_(triangolo) = S_(lat) = 864 cm^2 Ricordando le formule sull'area, detti c_1 e c_2 i due cateti del triangolo rettangolo si ha (c_1×c_2)/(2) = 864 cm^2 ossia c_1×c_2 = 1728 cm^2 Grazie ai dati forniti dal problema sappiamo inoltre che (c_1)/(c_2) = (4)/(3) → c_1 = (4)/(3)c_2 Come prima, sostituendo questa relazione nella prima ricadiamo in un'equazione (4)/(3)c_2 (c_1)×c_2 = 1728 cm^2 (4)/(3) c_2^2 = 1728 cm^2 c_2^2 = (3)/(4)×1728 = 1296 cm^2 Per trovare la lunghezza di c_2 ci basta estrarre la radice quadrata c_2 = √(1296) = 36 cm Possiamo ora ricavare c_1 = (4)/(3)c_2 = (4)/(3)×36 = 48 cm Essendo note le misure dei due cateti, ricorrendo la teorema di Pitagora possiamo calcolare l'ipotenusa i = √(c_1^2+c_2^2) = √(48^2+36^2) = √(3600) = 60 cm