Soluzioni
  • Ciao Malouda_Fc arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Purtroppo per questioni di regolamento posso risolvere un esercizio per domanda, quindi in questa risolveremo solo la prima:

    \sum_{n=2}^\infty \frac{e^{-n}}{\ln(n)}

    Osserviamo che la serie è a termini positivi, inoltre il termine n-esimo è infinitesimo:

    \lim_{n\to \infty}\frac{e^{-n}}{\ln(n)}=

    \lim_{n\to \infty }\frac{1}{e^n \ln(n)}=0

    La condizione necessaria di convergenza (ma non sufficiente) affinché la serie converga è soddisfatta.

    Procederemo col criterio del rapporto. Per semplicità d'esposizione chiamo 

    a_n= \frac{1}{e^n \ln(n)}

    Costruiamo il rapporto:

    \frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{\frac{1}{e^{n+1}\ln(n+1)}}{\frac{1}{e^n\ln(n)}}=

    \frac{e^n}{e^{n+1}}\cdot \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)}

    Semplificando e^n il precedente rapporto diviene:

    \frac{1}{e}\cdot \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)}

    Adesso passiamo al limite per n che tende ad infinito, se il risultato è minore di 1 (e maggiore o uguale 0) la serie converge:

    \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= \lim_{n\to \infty }\frac{1}{e}\frac{\ln(n)}{\ln(n+1)}=

    =\frac{1}{e}

    Poiché \frac{1}{e}\textless 1 la serie converge.

    per gli altri esercizi sei pregato di aprire domande separate, però dopo aver accettato questa. Ti invito a leggere il regolamento. ;)

    Risposta di Ifrit
  • Ok grazie mille..Scusami farò la nuova domanda!!Grazie ancora!!

    Risposta di Malouda_Fc
 
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