Integrale del logaritmo

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Non so come calcolare l'integrale del logaritmo: in realtà non ho proprio idea di quale possa essere il metodo di integrazione da usare, volevo chiedervi se potete darmi una mano spiegandomelo. Grazie anticipatamente =)

Domanda di koccia123

 
Soluzioni

  • Ciao koccia123, arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • L'integrale 

    ∫ log(x)dx

    si risove integrando per parti, utilizzeremo la formula:

    ∫ f(x) g'(x)dx = f(x)g(x)-∫ f'(x)g(x)dx

    Il trucco per utilizzare questo particolare metodo è scegliere per f(x) una funzione "facile da derivare", mentre per g'(x) una funzione facile da integrare.

    In questo caso però abbiamo una sola funzione... Ne siamo sicuri? Facciamoci furbi!!

    ∫ log(x)dx = ∫ 1·log(x)dx

    Avevamo una funzione, ma non la vedevamo:

    Scegliamo ora chi avrà il ruolo di f e chi di g'

    f(x) = log(x) ⇒ f'(x) = (1)/(x)

    g'(x) = 1 ⇒ g(x) = x

    Ho fatto questa scelta perché log(x) è facile da derivare, mentre 1 è facile da integrare

    Utilizziamo la formula!! :D

    ∫ log(x)dx = log(x)·x-∫ (1)/(x)·xdx

    Semplifichiamo all'interno dell'integrale:

    ∫ log(x)dx = log(x)·x-∫ 1dx =

    Ma l'integrale di 1 è x quindi:

    ∫ log(x)dx = log(x)·x-x+c = x(log(x)-1)+c

    con c costante reale :D

    Risposta di Ifrit
 
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