Relazione tra punti isolati e punti di frontiera

Ciao Diabolik, arrivo a risponderti...

Ecoo l'errore:

"un punto isolato di un dato sottoinsieme A di R è contemporaneamente un punto di frontiera per A?? ho trovato tale affermazione da alcune risorse ma non credo sia esatta poichè la definizione di punto di frontiera (cioè: se in ogni intorno del punto cadono infiniti punti dell'insieme A) non è riconducibile alla def di punto isolato.... sbaglio?! grazie in anticipo"

Quella è la definizione di punto di accumulazione, non di punto di frontiera: un punto si dice di frontiera per un insieme se in ogni suo intorno completo cade almeno un punto di e un punto di . Equivalentemente, puoi definire la nozione di punto di frontiera di un insieme come un punto che appartiene all'intersezione tra la chiusura dell'insieme e la chiusura del complementare .

Svelata l'origine dell'inghippo...

Namasté!

giusto! mi sono confuso con la definizione, ma il problema persiste: ho trovato appunto che se  x  è un punto isolato di A è anche un punto di frontiera per A (cioè la definizione che hai dato tu giustamente) ma appunto, se è un punto isolato significa che deve esistere un intorno di  x ,  I(x),  che non contiene altri elementi di A oltre il punto  x... ma non vedo alcun riscntro con la def di punto di frontiera poichè afferma infatti che IN OGNI suo intorno troverò sempre punti di A e punti del complementare di A.....    quindi l'informazione che ho trovato è sbagliata????    grazie e scusa se prima ho impostato male la domanda...

"giusto! mi sono confuso con la definizione, ma il problema persiste: ho trovato appunto che se  x  è un punto isolato di A è anche un punto di frontiera per A (cioè la definizione che hai dato tu giustamente) ma appunto, se è un punto isolato significa che deve esistere un intorno di  x ,  I(x),  che non contiene altri elementi di A oltre il punto  x... ma non vedo alcun riscntro con la def di punto di frontiera poichè afferma infatti che IN OGNI suo intorno troverò sempre punti di A e punti del complementare di A.....    quindi l'informazione che ho trovato è sbagliata????    grazie e scusa se prima ho impostato male la domanda..."

Ora, tornando a noi: la frase in grassetto è l'errore nel tuo ragionamento: la definizione di punto di frontiera prevede che in ogni intorno del punto trovi almeno un punto, non necessariamente infiniti punti. Inoltre, non è da escludere il punto stesso, quindi se hai a che fare con un punto isolato, questo è certamente di frontiera: contiene almeno un punto dell'insieme (il punto stesso) e almeno un punto del complementare.

Namasté!

chiedo scusa... siccome alla domanda  rispondi con "arrivo a risponderti... ho pensato facessi lo stesso con la replica.... e allora ho collegato che forse c'era qualche problema tipo che non fosse arrivata la replica.... chiedo sinceramente scusa non volevo apparire per come sono sembrato anzi, ringrazio davvero voi per vostro servizio. siete utilissimi!!! grazie e scusa ancora...

Dai, non preoccuparti, è stato solo un misunderstanding 

Namasté!