Relazione tra punti isolati e punti di frontiera

Ecoo l'errore:

"un punto isolato di un dato sottoinsieme A di R è contemporaneamente un punto di frontiera per A?? ho trovato tale affermazione da alcune risorse ma non credo sia esatta poichè la definizione di punto di frontiera (cioè: se in ogni intorno del punto cadono infiniti punti dell'insieme A) non è riconducibile alla def di punto isolato.... sbaglio?! grazie in anticipo"

Quella è la definizione di punto di accumulazione, non di punto di frontiera: un punto si dice di frontiera per un insieme se in ogni suo intorno completo cade almeno un punto di e un punto di . Equivalentemente, puoi definire la nozione di punto di frontiera di un insieme come un punto che appartiene all'intersezione tra la chiusura dell'insieme e la chiusura del complementare .

Svelata l'origine dell'inghippo...

Namasté!

"giusto! mi sono confuso con la definizione, ma il problema persiste: ho trovato appunto che se  x  è un punto isolato di A è anche un punto di frontiera per A (cioè la definizione che hai dato tu giustamente) ma appunto, se è un punto isolato significa che deve esistere un intorno di  x ,  I(x),  che non contiene altri elementi di A oltre il punto  x... ma non vedo alcun riscntro con la def di punto di frontiera poichè afferma infatti che IN OGNI suo intorno troverò sempre punti di A e punti del complementare di A.....    quindi l'informazione che ho trovato è sbagliata????    grazie e scusa se prima ho impostato male la domanda..."

Ora, tornando a noi: la frase in grassetto è l'errore nel tuo ragionamento: la definizione di punto di frontiera prevede che in ogni intorno del punto trovi almeno un punto, non necessariamente infiniti punti. Inoltre, non è da escludere il punto stesso, quindi se hai a che fare con un punto isolato, questo è certamente di frontiera: contiene almeno un punto dell'insieme (il punto stesso) e almeno un punto del complementare.

Namasté!