Punti di estremo relativo di una funzione con radice

Come calcolare i punti di estremo relativo di questa funzione fratta con radice a denominatore?

y = (8)/(√(1−10x^2))

Domanda di luna12
Soluzioni

Ciao luna12, arrivo :D... La prossima volta almeno saluta :P Scrivere così il testo dell'esercizio è davvero brutto nei nostri confronti Cry

Risposta di Ifrit

...Scusate, scrivevo di fretta Sealed

Risposta di luna12

f(x) = (8)/(√(1−10x^2))

Il dominio della funzione è dato dalla risoluzione della disequazione:

1−10x^2 ≥ 0 (condizione di realtà della radice)

Inoltre dobbiamo pretendere che 1−10x^2 ne 0 (condizione d'esistenza della frazione)

Queste due condizioni sono inglobate nell'unica disequazione di secondo grado:

1−10x^2 > 0

−10x^2 > −1

x^2 < (1)/(10)

Da cui:

−(1)/(√(10)) < x < (1)/(√(10))

Fatto questo calcoliamo la derivata prima e applichiamo il metodo per calcolare massimi e minimi della funzione:

f'(x) = −(8·(−20x)/(2√(1−10x^2)))/(1−10x^2) =

(80 x)/((1−10x^2)√(1−10x^2))

Vediamo quando quest'ultima si annulla:

f'(x) = 0 ⇔ 80x = 0 ⇔ x = 0

Il punto x_0 = 0 è un candidato punto di massimo o di minimo.

Per determinarne la natura, studiamo il segno della derivata prima, che dipende esclusivamente dal numeratore, visto che il denominatore è sempre positivo nel dominio :

8x > 0 ⇔ x > 0

Dunque:

• La derivata prima è positiva per x∈ (0, 1/√(10)), in questo intervallo la funzione di partenza cresce

• La derivata prima è negativa per x∈ (−1/√(10), 0), in questo intervallo la funzione di partenza decresce.

Dunque il punto x_0 = 0 è un punto di minimo assoluto per la funzione di partenza. Fine :D

Risposta di Ifrit

Grazie mille Smile

Risposta di luna12

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