Soluzioni
  • Ciao cannuccia arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • La serie è:

    \sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{n} (2^{\frac{1}{n^2}}-1) x^{n}

    corretto? 

    Risposta di Ifrit
  • corretto

    Risposta di cannuccia
  • Per x=0 la serie converge perché somma di infiniti zeri

    Ok, studiamo la convergenza con il criterio del rapporto per x\ne 0:

    Sia a_n(x)= \sqrt{n}(2^{\frac{1}{n^2}}-1)|x^n|

    Calcoliamo il limite:

    \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}(x)}{a_{n}(x)}=

    \lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{n+1}(2^{\frac{1}{(n+1)^2}})|x|^{n+1}}{\sqrt{n}(2^{\frac{1}{n^2}-1}-1)|x|^n}

    Semplifichiamo |x|^{n}

     

    \lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{n+1}(2^{\frac{1}{(n+1)^2}}-1)|x|}{\sqrt{n}(2^{\frac{1}{n^2}}-1)}

    Il modulo di x non dipende da n quindi possiamo trasportarlo fuori dal limite:

    |x|\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{n+1}(2^{\frac{1}{(n+1)^2}}-1)}{\sqrt{n}(2^{\frac{1}{n^2}}-1)}

    |x|\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}\lim_{n\to \infty}\frac{(2^{\frac{1}{(n+1)^2}}-1)}{(2^{\frac{1}{n^2}}-1)}

    Studiamo i limiti separatamente:

    \lim_{n\to \infty}\sqrt{\frac{n+1}{n}}=1

    \lim_{n\to \infty}\frac{(2^{\frac{1}{(n+1)^2}}-1)}{(2^{\frac{1}{n^2}}-1)}

    \lim_{n\to \infty}\frac{2^{\frac{1}{(n+1)^2}}(1-\frac{1}{2^{\frac{1}{(n+1)^2}}})}{2^{\frac{1}{n^2}}(1-\frac{1}{2^{\frac{1}{n}}})}=1

    In definitiva il limite fa 1.

    Conseguentemente:

    |x|\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{n+1}(2^{\frac{1}{(n+1)^2}}-1)}{\sqrt{n}(2^{\frac{1}{n^2}}-1)}=|x|

     

    Per il criterio della radice il limite precedente deve essere minore di 1:

    |x|\textless 1\implies -1\textless x\textless 1

    Questo è l'intervallo di convergenza.

    Risposta di Ifrit
  • Grazie!

    Una sola domanda (forse sciocca). Non sono da considerarsi i casi per x minore di -1 e xmaggiore di 1 ?

    Risposta di cannuccia
  • Non è una domanda sciocca (non esistono domande sciocche, solo le risposte lo possono essere ) :)

    Dobbiamo considerare i casi x=1 x=-1

    Per x=1

    \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n}(2^{\frac{1}{n^2}}-1)

    Osserva che:

    2^{\frac{1}{n^2}}-1\sim_{\infty} \ln(2)\left(\frac{1}{n^2}\right)

    Sostituendo:

    \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n}\cdot \ln(2)\left(\frac{1}{n^2}\right)= 

    \ln(2)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(2)}{n^{\frac{3}{2}}}

    Questa è una serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 1 quindi converge

     

    Per x=-1

    \sum_{n=1}^{\infty}(-1)(2^{\frac{1}{n^2}}-1)\sqrt{n}

    La serie è a segni alterni, utilizziamo Leibnitz:

    La successione 

    (2^{\frac{1}{n^2}}-1)\sqrt{n}

    è:

    • Positiva (prodotto di quantità positive)

    • Decrescente  (ho studiato la funzione f(x)= (2^{\frac{1}{x^2}}-1)\sqrt{x}, in particolare la derivata prima risulta negativa per x>1)

    • Infinitesima:
    \lim_{n\to \infty}(2^{\frac{1}{n^2}}-1)\sqrt{n}=\lim_{n\to \infty }\frac{\ln(2)}{n^{\frac{3}{2}}}=0 

     

    Per Leibnitz converge.

    Per x\textgreater 1

    \lim_{n\to \infty}a_n(x)=+\infty

    quindi viene meno la condizione necessaria per la convergenza

    Per x\textless -1

    \lim_{n\to \infty}a_n(x)= \nexists

    quindi viene meno la condizione necessaria per la convergenza. 

    Per mostrare che il limite non esiste devi osservare che x^n= (-1)^n |x|

    Il lmite quindi si riscrive come:

    \lim_{n\to \infty}(-1)^n |x|^n (2^{\frac{1}{n^2}}-1)\sqrt{n}

    |x|^n (2^{\frac{1}{n^2}}-1)\sqrt{n} diverge positivamente, mentre (-1)^n oscilla, facendo perdere così l'unicità del limite

    Risposta di Ifrit
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