Carattere di una serie con parametro

Sono in difficoltà con una serie con parametro, serie che compare in un esercizio e della quale devo studiare il carattere:


Serie parametrica


Spero possiate aiutarmi...

Domanda di cannuccia
Soluzioni

Ciao cannuccia arrivo :D

Risposta di Ifrit

La serie è:

Σ_(n = 1)^(∞)√(n) (2^((1)/(n^2))-1) x^(n)

corretto? 

Risposta di Ifrit

corretto

Risposta di cannuccia

Per x = 0 la serie converge perché somma di infiniti zeri

Ok, studiamo la convergenza con il criterio del rapporto per x ne 0:

Sia a_n(x) = √(n)(2^((1)/(n^2))-1)|x^n|

Calcoliamo il limite:

lim_(n → ∞)(a_(n+1)(x))/(a_(n)(x)) =

lim_(n → ∞)(√(n+1)(2^((1)/((n+1)^2)))|x|^(n+1))/(√(n)(2^((1)/(n^2)-1)-1)|x|^n)

Semplifichiamo |x|^(n)

lim_(n → ∞)(√(n+1)(2^((1)/((n+1)^2))-1)|x|)/(√(n)(2^((1)/(n^2))-1))

Il modulo di x non dipende da n quindi possiamo trasportarlo fuori dal limite:

|x|lim_(n → ∞)(√(n+1)(2^((1)/((n+1)^2))-1))/(√(n)(2^((1)/(n^2))-1))

|x|lim_(n → ∞)(√(n+1))/(√(n))lim_(n → ∞)((2^((1)/((n+1)^2))-1))/((2^((1)/(n^2))-1))

Studiamo i limiti separatamente:

lim_(n → ∞)√((n+1)/(n)) = 1

lim_(n → ∞)((2^((1)/((n+1)^2))-1))/((2^((1)/(n^2))-1))

lim_(n → ∞)(2^((1)/((n+1)^2))(1-(1)/(2^(frac1(n+1)^2))))/(2^((1)/(n^2))(1-(1)/(2^(frac1n)))) = 1

In definitiva il limite fa 1.

Conseguentemente:

|x|lim_(n → ∞)(√(n+1)(2^((1)/((n+1)^2))-1))/(√(n)(2^((1)/(n^2))-1)) = |x|

Per il criterio della radice il limite precedente deve essere minore di 1:

|x| < 1 ⇒-1 < x < 1

Questo è l'intervallo di convergenza.

Risposta di Ifrit

Grazie!

Una sola domanda (forse sciocca). Non sono da considerarsi i casi per x minore di -1 e xmaggiore di 1 ?

Risposta di cannuccia

Non è una domanda sciocca (non esistono domande sciocche, solo le risposte lo possono essere ) :)

Dobbiamo considerare i casi x = 1 x = -1

Per x = 1

Σ_(n = 1)^(∞) √(n)(2^((1)/(n^2))-1)

Osserva che:

2^((1)/(n^2))-1 ~ _(∞) ln(2)((1)/(n^2))

Sostituendo:

Σ_(n = 1)^(∞) √(n)·Â ln(2)((1)/(n^2)) =  

ln(2)Σ_(n = 1)^(∞)(ln(2))/(n^((3)/(2)))

Questa è una serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 1 quindi converge

Per x = -1

Σ_(n = 1)^(∞)(-1)(2^((1)/(n^2))-1)√(n)

La serie è a segni alterni, utilizziamo Leibnitz:

La successione 

(2^((1)/(n^2))-1)√(n)

è:

• Positiva (prodotto di quantità positive)

• Decrescente  (ho studiato la funzione f(x) = (2^((1)/(x^2))-1)√(x), in particolare la derivata prima risulta negativa per x > 1)

• Infinitesima:
lim_(n → ∞)(2^((1)/(n^2))-1)√(n) = lim_(n → ∞)(ln(2))/(n^((3)/(2))) = 0 

Per Leibnitz converge.

Per x > 1

lim_(n → ∞)a_n(x) = +∞

quindi viene meno la condizione necessaria per la convergenza

Per x < -1

lim_(n → ∞)a_n(x) = !∃

quindi viene meno la condizione necessaria per la convergenza. 

Per mostrare che il limite non esiste devi osservare che x^n = (-1)^n |x|

Il lmite quindi si riscrive come:

lim_(n → ∞)(-1)^n |x|^n (2^((1)/(n^2))-1)√(n)

|x|^n (2^((1)/(n^2))-1)√(n) diverge positivamente, mentre (-1)^n oscilla, facendo perdere così l'unicità del limite

Risposta di Ifrit

Domande della categoria Università - Analisi Matematica
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