Serie numerica con radici e parametro

Ciao ragazzi, ho un problema con lo studio di una serie fratta con delle radici e dipendente da un parametro. Non so come fare per studiarne la convergenza

$\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{(1+\sqrt{n})^{\frac{1}{2}}-n^{\frac{1}{4}}}{n^{\beta +1}}}$

Qualcuno potrebbe spiegarmi come studiare questa serie e come trovare i valori del parametro per cui converge? Grazie!

Domanda di Fuivito

Soluzioni

Ciao Fuivito, arrivo a risponderti...
Risposta di Omega
Per studiare la convergenza della serie
$\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{(1+\sqrt{n})^{\frac{1}{2}}-n^{\frac{1}{4}}}{n^{\beta +1}}}$
Raccogliamo un termine $n^{\frac{1}{4}}$ a denominatore:
$\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{n^{\frac{1}{4}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{n}}{n^{\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{1}{2}}-1\right]}{n^{\beta +1}}}$
Poi riscriviamo il tutto come
$\sum_{n=1}^{+\infty}{ \frac{\left(\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}} +1\right)^{\frac{1}{2}}-1 }{n^{\beta +1-\frac{1}{4}}}}$
Ora possiamo studiare il termine generale della serie a parte: concentrandoci esclusivamente sul numeratore, possiamo applicare un noto limite notevole per dedurre la seguente equivalenza asintotica
$\left(1+n^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{n}}-1\sim_{n\to +\infty} \frac{1}{2}n^{-\frac{1}{2}}$
Torniamo a considerare il termine generale della serie:
$\frac{\frac{1}{2}n^{-\frac{1}{2}}}{n^{\beta+\frac{3}{4}}}$
ossia
$\frac{1}{2n^{\beta+\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}}$
$\frac{1}{2n^{\beta+\frac{5}{4}}}$
Basterà dunque richiedere che $\beta+\frac{5}{4}>1$ per poter affermare che la serie considerata è convergente, grazie al confronto asintotico con la serie armonica generalizzata.
Namasté!
Risposta di Omega
Grande!
Risposta di Fuivito

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