Soluzioni
  • Ciao Fuivito, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per studiare la convergenza della serie

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{(1+\sqrt{n})^{\frac{1}{2}}-n^{\frac{1}{4}}}{n^{\beta +1}}}

    Raccogliamo un termine n^{\frac{1}{4}} a denominatore:

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{n^{\frac{1}{4}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{n}}{n^{\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{1}{2}}-1\right]}{n^{\beta +1}}}

    Poi riscriviamo il tutto come

    \sum_{n=1}^{+\infty}{ \frac{\left(\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}} +1\right)^{\frac{1}{2}}-1 }{n^{\beta +1-\frac{1}{4}}}}

    Ora possiamo studiare il termine generale della serie a parte: concentrandoci esclusivamente sul numeratore, possiamo applicare un noto limite notevole per dedurre la seguente equivalenza asintotica

    \left(1+n^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{n}}-1\sim_{n\to +\infty} \frac{1}{2}n^{-\frac{1}{2}}

    Torniamo a considerare il termine generale della serie:

    \frac{\frac{1}{2}n^{-\frac{1}{2}}}{n^{\beta+\frac{3}{4}}}

    ossia

    \frac{1}{2n^{\beta+\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}}

    \frac{1}{2n^{\beta+\frac{5}{4}}}

    Basterà dunque richiedere che \beta+\frac{5}{4}>1 per poter affermare che la serie considerata è convergente, grazie al confronto asintotico con la serie armonica generalizzata.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grande!

    Risposta di Fuivito
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