Serie numerica con radici e parametro

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Ciao ragazzi, ho un problema con lo studio di una serie fratta con delle radici e dipendente da un parametro. Non so come fare per studiarne la convergenza

 

Σ_(n = 1)^(+∞)((1+√(n))^((1)/(2))-n^((1)/(4)))/(n^(β+1))

 

Qualcuno potrebbe spiegarmi come studiare questa serie e come trovare i valori del parametro per cui converge? Grazie!

Domanda di Fuivito

 
Soluzioni

  • Ciao Fuivito, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per studiare la convergenza della serie

    Σ_(n = 1)^(+∞)((1+√(n))^((1)/(2))-n^((1)/(4)))/(n^(β+1))

    Raccogliamo un termine n^((1)/(4)) a denominatore:

    Σ_(n = 1)^(+∞)(n^((1)/(4))[((1+√(n))/(n^(frac12)))^((1)/(2))-1])/(n^(β+1))

    Poi riscriviamo il tutto come

    Σ_(n = 1)^(+∞) (((1)/(n^(frac12))+1)^((1)/(2))-1)/(n^(β+1-(1)/(4)))

    Ora possiamo studiare il termine generale della serie a parte: concentrandoci esclusivamente sul numeratore, possiamo applicare un noto limite notevole per dedurre la seguente equivalenza asintotica

    (1+n^(-(1)/(2)))^((1)/(n))-1 ~ _(n → +∞) (1)/(2)n^(-(1)/(2))

    Torniamo a considerare il termine generale della serie:

    ((1)/(2)n^(-(1)/(2)))/(n^(β+(3)/(4)))

    ossia

    (1)/(2n^(β+(3)/(4)+(1)/(2)))

    (1)/(2n^(β+(5)/(4)))

    Basterà dunque richiedere che β+(5)/(4) > 1 per poter affermare che la serie considerata è convergente, grazie al confronto asintotico con la serie armonica generalizzata.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Grande!

    Risposta di Fuivito
 
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