Soluzioni
  • Per risolvere l'esercizio sono richieste alcune nozioni preliminari.

    Innanzitutto, da un punto di vista strettamente teorico, è necessario conoscere le definizioni di funzione iniettiva, suriettiva e biunivoca.

    Da un punto di vista pratico, qui su YM abbiamo due guide che cascano a pennello:

    - come stabilire se una funzione è una funzione iniettiva

    - come stabilire se una funzione è una funzione suriettiva

    nelle quali viene spiegato come controllare le proprietà di iniettività e suriettività con il metodo grafico. Se non sai di cosa stiamo parlando ti invito a leggerle, perché è tutto spiegato lì. Qui mi limito a richiamare il metodo grafico a grandi linee senza scendere nel dettaglio. ;)

    Primo esercizio

    Il metodo grafico per stabilire se una funzione è iniettiva prevede di controllare le intersezioni del grafico con tutte le possibili rette orizzontali del tipo y=k.

    Se il grafico interseca ciascuna retta al più in un punto, oppure se non la interseca, allora abbiamo a che fare con una funzione iniettiva. Se invece c'è anche solo una retta che interseca il grafico in due o più punti, allora non è iniettiva.

    Il metodo grafico per stabilire se una funzione è suriettiva dipende dal codominio che si prende in considerazione, ossia l'insieme di arrivo. Dato che l'esercizio non specifica nulla, noi dobbiamo supporre che le funzioni vadano intese come

    f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}

    e che quindi l'insieme di arrivo sia Cod(f)=\mathbb{R}.

    Per controllare graficamente la suriettività di una funzione dobbiamo considerare la proiezione del grafico sull'asse delle y. Se la proiezione copre tutto il codominio, allora la funzione è suriettiva; se invece la proiezione è contenuta nel codominio, allora la funzione non è suriettiva.

    Esercizio funzione biunivoca dal grafico - 2

    Tenendo presente che, nel nostro caso, per avere la suriettività la proiezione del grafico sull'asse y deve coprire l'intero asse reale, si vede subito che:

    a) suriettiva ma non iniettiva;

    b) suriettiva e iniettiva, dunque biunivoca;

    c) né suriettiva, né iniettiva;

    d) né suriettiva, né iniettiva.

    Secondo esercizio

    Sappiamo che il codominio è l'insieme di arrivo che viene specificato nella definizione della funzione:

    f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}\ \leftarrow\ \mbox{Cod}(f)

    e sappiamo anche che l'immagine di una funzione è un sottoinsieme del codominio: Im(f)\subseteq \mbox{Cod}(f).

    Qui la traccia ci chiede, nel caso le funzioni proposte non siano suriettive, di individuare in ciascuno dei casi considerati un sottoinsieme in modo che la funzione diventi suriettiva restringendo il codominio a tale sottoinsieme.

    Niente di più facile: come spieghiamo nella lezione sulla funzione inversa, la tecnica per rendere suriettiva una funzione che non lo è consiste nel considerare come codominio proprio l'immagine della funzione, e quindi considerare la corrispondente funzione

    f:Dom(f)\subseteq\mathbb{R}\to Im(f)\subseteq\mathbb{R}

    L'esercizio in parole povere ci sta chiedendo di individuare le immagini delle funzioni proposte.

    Esercizio funzione biunivoca dal grafico - 1

    In riferimento alla notazione degli intervalli, e ricordando che l'immagine di una funzione è graficamente la proiezione sull'asse y del grafico:

    \\ a)\ Im(f)=(-\infty,3]\\ \\ b)\ Im(f)=[5,5]=\{5\}\\ \\ c)\ Im(f)=(-\infty,5]\\ \\ d)\ Im(f)=\{-4\}\cup[0,+\infty)

    Occhio ai tratteggi: indicano che il grafico prosegue indefinitamente! ;)

    Restringendo il codominio all'immagine rendiamo tutte le funzioni considerate suriettive. Per il resto esse non sono iniettive, e dunque non possono essere biunivoche.

    Risposta di Omega
 
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