Soluzioni
  • Ciao Bartez, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per determinare estremo superiore ed estremo inferiore dell'insieme dato dagli elementi della forma

    \sin{\left(n\frac{\pi}{6}\right)}\left[(-1)^n-1\right]\left(1-\frac{1}{n}\right)

    al variare di n\in\mathbb{N} dobbiamo farci un'idea di come sono fatti gli elementi dell'insieme A.

    Osserviamo che il secondo fattore sono dati da

    \left[(-1)^n-1\right]=\left\{\begin{marix}0&n\mbox{ pari}\\ -2& n\mbox{ dispari}\end{matrix}

    Poi abbiamo il primo fattore

    \sin{\left(n\frac{\pi}{6}\right)}

    al variare di n abbiamo come angoli

    \frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},frac{5\pi}{6},\pi...

    e così via, il punto è che vengono "toccati" gli angoli che rendono minimo e massimo il valore del seno: per n=3 abbiamo \frac{\pi}{2} in cui il seno vale +1 mentre per n=? 

    \frac{3}{2}\pi=n\frac{\pi}{6}\to n=9

    abbiamo come angolo \frac{\pi}{3} in cui il seno vale -1.

    Nota che entrambi i valori di n sono dispari.

    Tutti gli altri valori del seno sono compresi tra [-1,+1].

    Ora consideriamo l'ultimo fattore:

    \left(1-\frac{1}{n}\right)

    che è strettamente crescente e ha limite 1 per n\to +infty, quindi la successione complessiva, per n\to +\infty assume valori compresi tra [-1,+1] per quanto riguarda il seno e, tenendo conto del secondo fattore, tra tutti i valori compresi tra [-2,2].

    In definitiva, possiamo concludere che la nostra successione ha estremo superiore ed estremo inferiore dati da -2 e +2 rispettivamente. Si tratta di capire se tali valori sono anche minimo e massimo dell'insieme. Basta restringere la ricerca agli indici dispari e cercare n dispari tale che

    \sin{\left(n\frac{\pi}{6}\right)}

    ?

    No, perché in ogni caso il terzo fattore assume un valore minore di 1, e quindi i due estremi non appartengono all'insieme e non sono, rispettivamente, né minimo né massimo.

    Dovrebbe funzionare Wink Ad ogni modo, questo genere di esercizi non ha una linea guida standard, bisogna sempre mettere in atto delle considerazioni qualitative sulle funzioni che determinano la successione...

    Namasté!

    Risposta di Omega
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