Dobbiamo calcolare il limite fratto con la radice
facendo uso del principio di eliminazione degli infiniti di ordine inferiore. Al fine di applicarlo a dovere è necessario effettuare correttamente il confronto tra infiniti presenti al numeratore e al denominatore. Nel caso in esame al denominatore troviamo esclusivamente un termine,
, al numeratore invece troviamo il termine irrazionale
il cui radicando è formato da due infiniti e un termine costante
avente grado 2;
avente grado 1;
è il termine costante.
Per
il termine
rappresenta l'infinito di ordine superiore e in accordo con il principio di eliminazione gli altri termini verranno trascurati
In base alla definizione di valore assoluto
di conseguenza il limite si riscrive come
Attenzione, abbiamo raggiunto un passaggio cruciale per la risoluzione del limite in cui è facilissimo commettere un errore. Prima di tutto bisogna tenere presente che la variabile
tende a - infinito, ciò comporta che prima o poi il suo segno sarà negativo e in accordo con la definizione stessa di valore assoluto si ha che
e il limite si scrive come
Abbiamo raggiunto il risultato.
Metodo alternativo
Un'altra strada per risolvere il limite
consiste nel mettere in evidenza
dentro al radicando
In accordo con la definizione di modulo:
e il precedente limite si scrive come
Per
i termini con la variabile
al denominatore sono infinitesimi, ossia
Grazie a questa osservazione il limite si riscrive nella forma equivalente
e coerentemente con la definizione di valore assoluto sussiste l'identità
quando
pertanto possiamo scrivere quanto segue
Abbiamo concluso.
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