Soluzioni
  • Dobbiamo calcolare il limite fratto con la radice

    lim_(x → -∞)(√(x^2-x+1))/(x) = (•)

    facendo uso del principio di eliminazione degli infiniti di ordine inferiore. Al fine di applicarlo a dovere è necessario effettuare correttamente il confronto tra infiniti presenti al numeratore e al denominatore. Nel caso in esame al denominatore troviamo esclusivamente un termine, x, al numeratore invece troviamo il termine irrazionale √(x^2-x+1) il cui radicando è formato da due infiniti e un termine costante

    x^2 avente grado 2;

    -x avente grado 1;

    1 è il termine costante.

    Per x → -∞ il termine x^2 rappresenta l'infinito di ordine superiore e in accordo con il principio di eliminazione gli altri termini verranno trascurati

    (•) = lim_(x → -∞)(√(x^2))/(x) =

    In base alla definizione di valore assoluto √(x^2) = |x| di conseguenza il limite si riscrive come

    = lim_(x → -∞)(|x|)/(x) =

    Attenzione, abbiamo raggiunto un passaggio cruciale per la risoluzione del limite in cui è facilissimo commettere un errore. Prima di tutto bisogna tenere presente che la variabile x tende a - infinito, ciò comporta che prima o poi il suo segno sarà negativo e in accordo con la definizione stessa di valore assoluto si ha che |x| = -x e il limite si scrive come

    = lim_(x → -∞)(-x)/(x) = -1

    Abbiamo raggiunto il risultato.

     

    Metodo alternativo

    Un'altra strada per risolvere il limite

    lim_(x → -∞)(√(x^2-x+1))/(x) =

    consiste nel mettere in evidenza x^2 dentro al radicando

    = lim_(x → -∞)(√(x^2(1-(1)/(x)+(1)/(x^2))))/(x) =

    In accordo con la definizione di modulo: √(x^2) = |x| e il precedente limite si scrive come

    = lim_(x → -∞)(|x|√(1-(1)/(x)+(1)/(x^2)))/(x) =

    Per x → -∞ i termini con la variabile x al denominatore sono infinitesimi, ossia

    -(1)/(x) → 0 ; (1)/(x^2) → 0

    Grazie a questa osservazione il limite si riscrive nella forma equivalente

    = lim_(x → -∞)(|x|)/(x) =

    e coerentemente con la definizione di valore assoluto sussiste l'identità |x| = -x quando x → -∞ pertanto possiamo scrivere quanto segue

    = lim_(x → -∞)(-x)/(x) = -1

    Abbiamo concluso.

    Risposta di Ifrit
 
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