Limite con radice da estrarre con il valore assoluto

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Ho un limite fratto con la radice in cui devo estrarre la radice e sostituirla con il modulo. Più precisamente dovrei utilizzare il principio di eliminazione degli infiniti di ordine inferiore e utilizzare la definizione di modulo. Nonostante abbia seguito i suggerimenti del libro non riesco a giungere allo stesso risultato. Ecco il limite

 

\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^2-x+1}}{x}

 

Grazie.

Domanda di Albert-E.

 
Soluzioni

  • Dobbiamo calcolare il limite fratto con la radice

    \lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^2-x+1}}{x}=(\bullet)

    facendo uso del principio di eliminazione degli infiniti di ordine inferiore. Al fine di applicarlo a dovere è necessario effettuare correttamente il confronto tra infiniti presenti al numeratore e al denominatore. Nel caso in esame al denominatore troviamo esclusivamente un termine, x, al numeratore invece troviamo il termine irrazionale \sqrt{x^2-x+1} il cui radicando è formato da due infiniti e un termine costante

    x^2 avente grado 2;

    -x avente grado 1;

    1 è il termine costante.

    Per x\to -\infty il termine x^2 rappresenta l'infinito di ordine superiore e in accordo con il principio di eliminazione gli altri termini verranno trascurati

    (\bullet)=\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^2}}{x}=

    In base alla definizione di valore assoluto \sqrt{x^2}=|x| di conseguenza il limite si riscrive come

    =\lim_{x\to -\infty}\frac{|x|}{x}=

    Attenzione, abbiamo raggiunto un passaggio cruciale per la risoluzione del limite in cui è facilissimo commettere un errore. Prima di tutto bisogna tenere presente che la variabile x tende a - infinito, ciò comporta che prima o poi il suo segno sarà negativo e in accordo con la definizione stessa di valore assoluto si ha che |x|=-x e il limite si scrive come

    =\lim_{x\to -\infty}\frac{-x}{x}=-1

    Abbiamo raggiunto il risultato.

     

    Metodo alternativo

    Un'altra strada per risolvere il limite

    \lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^2-x+1}}{x}=

    consiste nel mettere in evidenza x^2 dentro al radicando

    =\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^2\left(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}}{x}=

    In accordo con la definizione di modulo: \sqrt{x^2}=|x| e il precedente limite si scrive come

    =\lim_{x\to -\infty}\frac{|x|\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}{x}=

    Per x\to -\infty i termini con la variabile x al denominatore sono infinitesimi, ossia

    \\ -\frac{1}{x}\to 0 \\ \\ \\ \frac{1}{x^2}\to 0

    Grazie a questa osservazione il limite si riscrive nella forma equivalente

    =\lim_{x\to -\infty}\frac{|x|}{x}=

    e coerentemente con la definizione di valore assoluto sussiste l'identità |x|=-x quando x\to -\infty pertanto possiamo scrivere quanto segue

    =\lim_{x\to -\infty}\frac{-x}{x}=-1

    Abbiamo concluso.

    Risposta di Ifrit
 
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