Limite con radice da estrarre con il valore assoluto

Dobbiamo calcolare il limite fratto con la radice

facendo uso del principio di eliminazione degli infiniti di ordine inferiore. Al fine di applicarlo a dovere è necessario effettuare correttamente il confronto tra infiniti presenti al numeratore e al denominatore. Nel caso in esame al denominatore troviamo esclusivamente un termine, , al numeratore invece troviamo il termine irrazionale il cui radicando è formato da due infiniti e un termine costante

avente grado 2;

avente grado 1;

è il termine costante.

Per il termine rappresenta l'infinito di ordine superiore e in accordo con il principio di eliminazione gli altri termini verranno trascurati

In base alla definizione di valore assoluto di conseguenza il limite si riscrive come

Attenzione, abbiamo raggiunto un passaggio cruciale per la risoluzione del limite in cui è facilissimo commettere un errore. Prima di tutto bisogna tenere presente che la variabile tende a - infinito, ciò comporta che prima o poi il suo segno sarà negativo e in accordo con la definizione stessa di valore assoluto si ha che e il limite si scrive come

Abbiamo raggiunto il risultato.

Metodo alternativo

Un'altra strada per risolvere il limite

consiste nel mettere in evidenza dentro al radicando

In accordo con la definizione di modulo: e il precedente limite si scrive come

Per i termini con la variabile al denominatore sono infinitesimi, ossia

Grazie a questa osservazione il limite si riscrive nella forma equivalente

e coerentemente con la definizione di valore assoluto sussiste l'identità quando pertanto possiamo scrivere quanto segue

Abbiamo concluso.