Equazione con coefficienti irrazionali

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Ciao mi aiutate con una equazione con coefficienti irrazionali? Sarebbe questa:

 

((√(3)+8)x)/(x^2-√(3) x-6)-(3√(3)-2√(3)x)/(2x+2√(3)) = (√(3)x)/(x-2√(3))

 

P.S. Ringrazio ora il mod Ifrit perchè non ho avuto la possibilità di farlo prima dato che ho cliccato subito su "problema risolto" pensando che potessi replicare. :D

Domanda di Lucabig

 
Soluzioni

  • Ciao LucaBig, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Si tratta di un'equazione fratta di secondo grado, e per risolverla cominciamo con lo scomporre il denominatore della prima frazione

    x^2-√(3)x-6 = (x+√(3))(x-2√(3))

    e riscriviamo l'equazione come

    ((√(3)+8)x)/((x+√(3))(x-2√(3)))-(3√(3)-2√(3)x)/(2(x+√(3))) = (√(3)x)/(x-2√(3))

    Portiamo tutto a sinistra dell'uguale

    ((√(3)+8)x)/((x+√(3))(x-2√(3)))-(3√(3)-2√(3)x)/(2(x+√(3)))-(√(3)x)/(x-2√(3)) = 0

    e calcoliamo il denominatore comune:

    ((2√(3)+16)x-(3√(3)-2√(3)x)(x-2√(3))-2(x+√(3))√(3)x)/(2(x+√(3))(x-2√(3))) = 0

    A questo punto dobbiamo solamente imporre le C.E.:

    x ≠ 2√(3)

    x ≠-√(3)

    e proseguire nei calcoli

    (2√(3)x+16x+(-3√(3)x+18+2√(3)x^2-12x)-2√(3)x-6x)/(2(x+√(3))(x-2√(3))) = 0

    Eliminiamo il denominatore

    2√(3)x+16x-3√(3)x+18+2√(3)x^2-12x-2√(3)x^2-6x = 0

    2√(3)x+16x-3√(3)x+18-12x-6x = 0

    da cui, facendo i calcoli, ricaviamo

    x = (18)/(√(3)+2)

    A questo punto volendo puoi anche razionalizzare, ma lo lascio a te :P

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • A proposito: per scomporre il polinomio

    P(x) = x^2-√(3)x-6

    osserviamo che -√(3) è una radice del polinomio, ossia

    P(-√(3)) = 0

    quindi il binomio (x+√(3)) divide il polinomio P(x), ovvero sia possiamo scomporre il polinomio, che è di grado 2, nella forma

    P(x) = x^2-√(3)x-6 = (x+√(3))(x-a)

    per determinare a, basta sviluppare il prodotto

    (x+√(3))(x-a) = x^2-ax+√(3)x-a√(3)

    quindi abbiamo due equazioni, grazie al confronto con il polinomio P(x):

    -a+√(3) = -√(3)

    da cui ricaviamo a = 2√(3). La seconda equazione ce lo conferma:

    -a√(3) = -6

    da cui ricaviamo a = 2√(3).

    Risposta di Omega
 
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