Equazione con coefficienti irrazionali

Ciao mi aiutate con una equazione con coefficienti irrazionali? Sarebbe questa:

$\frac{(\sqrt{3}+8)x}{x^2-\sqrt{3} x-6} - \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}x}{2x+2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}x}{x-2\sqrt{3}}$

P.S. Ringrazio ora il mod Ifrit perchè non ho avuto la possibilità di farlo prima dato che ho cliccato subito su "problema risolto" pensando che potessi replicare. :D

Domanda di Lucabig

Soluzioni

Ciao LucaBig, arrivo a risponderti...
Risposta di Omega
Si tratta di un'equazione fratta di secondo grado, e per risolverla cominciamo con lo scomporre il denominatore della prima frazione
$x^2-\sqrt{3}x-6=(x+\sqrt{3})(x-2\sqrt{3})$
e riscriviamo l'equazione come
$\frac{(\sqrt{3}+8)x}{(x+\sqrt{3})(x-2\sqrt{3})}-\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}x}{2(x+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{3}x}{x-2\sqrt{3}}$
Portiamo tutto a sinistra dell'uguale
$\frac{(\sqrt{3}+8)x}{(x+\sqrt{3})(x-2\sqrt{3})}-\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}x}{2(x+\sqrt{3})}-\frac{\sqrt{3}x}{x-2\sqrt{3}}=0$
e calcoliamo il denominatore comune:
$\frac{(2\sqrt{3}+16)x-(3\sqrt{3}-2\sqrt{3}x)(x-2\sqrt{3})-2(x+\sqrt{3})\sqrt{3}x}{2(x+\sqrt{3})(x-2\sqrt{3})}=0$
A questo punto dobbiamo solamente imporre le C.E.:
$x\neq 2\sqrt{3}$
$x\neq -\sqrt{3}$
e proseguire nei calcoli
$\frac{2\sqrt{3}x+16x+(-3\sqrt{3}x+18+2\sqrt{3}x^2-12x)-2\sqrt{3}x -6x}{2(x+\sqrt{3})(x-2\sqrt{3})}=0$
Eliminiamo il denominatore
$2\sqrt{3}x+16x-3\sqrt{3}x+18+2\sqrt{3}x^2-12x-2\sqrt{3}x^2 -6x=0$
$2\sqrt{3}x+16x-3\sqrt{3}x+18-12x-6x=0$
da cui, facendo i calcoli, ricaviamo
$x=\frac{18}{\sqrt{3}+2}$
A questo punto volendo puoi anche razionalizzare, ma lo lascio a te :P
Namasté!
Risposta di Omega
A proposito: per scomporre il polinomio
$P(x)=x^2-\sqrt{3}x-6$
osserviamo che $-\sqrt{3}$ è una radice del polinomio, ossia
$P(-\sqrt{3})=0$
quindi il binomio $(x+\sqrt{3})$ divide il polinomio , ovvero sia possiamo scomporre il polinomio, che è di grado 2, nella forma
$P(x)=x^2-\sqrt{3}x-6=(x+\sqrt{3})(x-a)$
per determinare , basta sviluppare il prodotto
$(x+\sqrt{3})(x-a)=x^2-ax+\sqrt{3}x-a\sqrt{3}$
quindi abbiamo due equazioni, grazie al confronto con il polinomio :
$-a+\sqrt{3}=-\sqrt{3}$
da cui ricaviamo $a=2\sqrt{3}$ . La seconda equazione ce lo conferma:
$-a\sqrt{3}=-6$
da cui ricaviamo $a=2\sqrt{3}$ .
Risposta di Omega

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