Soluzioni
  • Ciao lolloviola arrivo :D

     

    Risposta di Ifrit
  • grazie

    Risposta di lolloviola
  • La forma indeterminata che hai individuato è corretta. :)

    \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{\sin(3x)}

    Il primo passo da fare è scrivere la funzione:

    (1+x)^{\frac {1}{x}}= e^{\frac{1}{x}\log(1+x)}

    Sviluppiamo in serie di Taylor 

    \log(1+x)= x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)

    Di conseguenza:

    \frac{\log(1+x)}{x}= 1-\frac{x}{2}+o(x)

    A questo punto sviluppiamo l'esponenziale, ricordando prima il suo sviluppo notevole:

    e^t= 1+t+o(t)

    Di conseguenza:

    e^{\frac{\log(1+x)}{x}}-e=e\left(e^{\frac{\log(1+x)}{x}-1}-1\right)= e(1-\frac{x}{2}+o(x)-1)

    =-\frac{e x}{2}+o(x)

    Benissimo a questo punto occupiamoci del denominatore:

    \sin(3x)= 3x+o(x)

    Di conseguenza:


    \lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{\sin(3x)}=\lim_{x\to 0}\frac{-\frac{ex}{2}}{3x}=

    = -\frac{e}{6}

    Risposta di Ifrit
 
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