Limite complicato con forma indeterminata 0/0

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Come posso procedere nella risoluzione di questo limite? Mi dà una forma indeterminata del tipo 0/0...grazie mille!

 

limite per x che tende a 0 di [ (1+x)^(1/x) - e ] / [ sen(3x) ]

 

Grazie!

Domanda di lolloviola

 
Soluzioni

  • Ciao lolloviola arrivo :D

     

    Risposta di Ifrit

  • grazie

    Risposta di lolloviola

  • La forma indeterminata che hai individuato è corretta. :)

    lim_(x → 0)((1+x)^((1)/(x))-e)/(sin(3x))

    Il primo passo da fare è scrivere la funzione:

    (1+x)^(frac 1x) = e^((1)/(x)log(1+x))

    Sviluppiamo in serie di Taylor 

    log(1+x) = x-(x^2)/(2)+o(x^2)

    Di conseguenza:

    (log(1+x))/(x) = 1-(x)/(2)+o(x)

    A questo punto sviluppiamo l'esponenziale, ricordando prima il suo sviluppo notevole:

    e^t = 1+t+o(t)

    Di conseguenza:

    e^((log(1+x))/(x))-e = e(e^((log(1+x))/(x)-1)-1) = e(1-(x)/(2)+o(x)-1)

    = -(e x)/(2)+o(x)

    Benissimo a questo punto occupiamoci del denominatore:

    sin(3x) = 3x+o(x)

    Di conseguenza:


    lim_(x → 0)((1+x)^((1)/(x))-e)/(sin(3x)) = lim_(x → 0)(-(ex)/(2))/(3x) =

    = -(e)/(6)

    Risposta di Ifrit
 
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