Soluzioni
  • Per risolvere l'equazione esponenziale

    \frac{\sqrt{3^x}}{\sqrt[4]{3^{x+1}}\cdot 9^{\frac{3x+2}{8}}}=\frac{1}{8}

    bisogna applicare con la dovuta cautela sia le proprietà dei radicali, sia le proprietà delle potenze che consentono di esprimere l'equazione in forma base (o forma normale).

    Prima di iniziare a svolgere i passaggi, è fondamentale effettuare alcune considerazioni. Effettivamente siamo di fronte a un'equazione fratta, infatti l'incognita si manifesta anche al denominatore, ergo dobbiamo imporre sia la condizione di esistenza per le frazioni, richiedendo che il denominatore sia non nullo, sia quella relativa alle radici con indice pari, le quali richiedono la non negatività dei loro radicandi.

    In questo caso, possiamo aggirare il calcolo dell'insieme di esistenza delle soluzioni perché sappiamo che le funzioni esponenziali sono positive, così come è noto che le radici con radicandi positivi (maggiori di zero) sono a loro volta positive (maggiori di zero).

    Queste osservazioni ci garantiscono che l'equazione è ben posta per ogni x.

    Torniamo all'equazione: per prima cosa esprimiamo i radicali in forma di potenze con esponente fratto,  in particolare:

    \\ \sqrt{3^{x}}=(3^{x})^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{x}{2}} \\ \\ \sqrt[4]{3^{x+1}}=(3^{x+1})^{\frac{1}{4}}=3^{\frac{x+1}{4}}

    Inoltre grazie alla proprietà per le potenze di potenze

    9^{\frac{3x+2}{8}}=(3^2)^{\frac{3x+2}{8}}=3^{\frac{3x+2}{4}}

    Con le identità ottenute, l'equazione

    \frac{\sqrt{3^x}}{\sqrt[4]{3^{x+1}}\cdot 9^{\frac{3x+2}{8}}}=\frac{1}{8}

    si riscrive nella forma

    \frac{3^{\frac{x}{2}}}{3^{\frac{x+1}{4}}\cdot 3^{\frac{3x+2}{4}}}=\frac{1}{8}

    Applichiamo la proprietà sul prodotto di potenze con la stessa base al denominatore del primo membro

    \\ \frac{3^{\frac{x}{2}}}{3^{\frac{x+1}{4}+\frac{3x+2}{4}}}=\frac{1}{8}\\ \\ \\ \frac{3^{\frac{x}{2}}}{3^{\frac{4x+3}{4}}}=\frac{1}{8}

    Infine, con la proprietà sul quoziente di due potenze con la stessa base, otteniamo

    \\ 3^{\frac{x}{2}-\frac{4x+3}{4}}=\frac{1}{8} \\ \\ \\ 3^{\frac{2x-4x-3}{4}}=\frac{1}{8}\\ \\ \\ 3^{\frac{-2x-3}{4}}=\frac{1}{8}

    Purtroppo \frac{1}{8} non si esprime in maniera elementare come potenza di 3, pertanto siamo costretti dalle circostanze a utilizzare i logaritmi: più esplicitamente possiamo applicare ai due membri il logaritmo in base tre

    \frac{-2x-3}{4}=\log_{3}\left(\frac{1}{8}\right)

    e isolare l'incognita al primo membro

    \\ -2x-3=4\log_{3}\left(\frac{1}{8}\right) \\ \\ \\ -2x=3+4\log_{3}\left(\frac{1}{8}\right)

    Cambiamo i segni e dividiamo i due membri per 2

    \\ 2x=-3-4\log_{3}\left(\frac{1}{8}\right) \\ \\ \\ x=\frac{-3-4\log_{3}\left(\frac{1}{8}\right)}{2}

    Abbiamo finalmente ottenuto la soluzione dell'equazione. Osserviamo che usando le giuste proprietà, il risultato può essere ulteriormente semplificato: ad esempio, grazie alle proprietà dei logaritmi

    \\ \log_{3}\left(\frac{1}{8}\right)=\log_{3}(1)-\log_{3}(8) = \\ \\ = -3\log_{3}(2)

    quindi la soluzione diventa

    x=\frac{-3+12\log_{3}(2)}{2}

    Infine, se dovessimo usare la calcolatrice per avere un'approssimazione, possiamo sempre cambiare base al logaritmo ed esprimerlo in base 10 (o in base e)

    x=\frac{1}{2}\left(-3+12\cdot\frac{\log_{10}(2)}{\log_{10}(3)}\right)

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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