Problema funzione: dominio, codominio?

 

data la funzione f (x) : R --> R

 

                         1/x+4  se x

f(x) = GRAFFA 

                         x-3 se x>-2

 

 

1

determina il dominio e il codominio di f(x).

2

il punto (3;1) appartiene al grafico della funzione?

 

In Superiori - Analisi - Domanda di

Soluzioni

  • Ciao Remaxer,

    credo che ci sia un missprint nella funzione che hai scritto, il primo intervallo su cui è definita dovrebbe essere x≤-2, cioè si dovrebbe scrivere così:

     

    f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}+4 & \mbox{ se }x\leq -2\\ x-3 & \mbox{se }x>-2\end{matrix}

     

    corretto?

    Risposta di Alpha

  • si è esatto

    Risposta di

  • scusatemi

     

    Risposta di

  • Figurati!

    Per quanto riguarda il dominio non c'è alcun problema, infatti avremmo dovuto escludere x=0 dal dominio della funzione f(x)=(1/x)+4 , ma essendo definita per x≤-2 il problema non si pone. Quindi il dominio della funzione definita a tratti è tutto l'asse reale.

     

    Per stabilire quale sia il codominio consideriamo il codominio delle singole funzioni limitandone lo studio agli intervalli su cui sono definite per poi unire i dominii trovati.

     

    La prima funzione

     

    y=\frac{1}{x}+4

     

    Valutiamola agli estremi del suo dominio, possiamo permetterci di fare solo queste valutazioni perché la funzione è continua in (-∞,-2].

     

    In x=-2 vale

     

    f(-2)=\frac{1}{-2}+4=\frac{7}{8}

     

    Il suo limite per x che tende a meno infinito è dato da:

     

    \lim_{x\to -\infty}{\frac{1}{x}+4}=4

     

    La seconda funzione invece, se valutata a -2 vale

     

    f(-2)=-2-3=-5

     

    inoltre

     

    f(x)=x-3

     

    essendo una retta è monotona crescente e  diverge a +∞ se x tende a +∞.

     

    Quindi il codominio della funzione definita a tratti è dato da (-5,+∞). Dove abbiamo escluso il valore -5 poiché la funzione vale x-3 per x strettamente maggiore di -2.

     

    Per verificare se il punto (3 , 1) appartiene al grafico bisogna prima di tutto capire a quale tratto appartiene. Per farlo è sufficiente guardare l'ascissa del punto: 3 è maggiore di -2, quindi il problema si restringe nel verificare se il punto (3 , 1) appartiene o meno alla retta

     

    y=x-3

     

    È sufficiente sostituire le coordinate nel punto nell'equazione per verificare che il punto non appartiene a tale retta:

     

    1=3-3

     

    ma

     

    1\neq 0

     

    Spero tutto sia chiaro, se ci fossero problemi scrivi pure.

     

    Alpha.

    Risposta di Alpha

  • Il mio libro dice che il codominio è tutto l'asse R

    Risposta di

  • e il dominio R -{-4}

    Risposta di

  • a no scusa ho fatto un errore allora la funzione è:

     

                                      1/(x+4) se x<=-2

    F(x)=graffa

                                      x-3       se  x>-2

     

     

    scusa di nuovo

    Risposta di

  • In questo caso ha ragione il tuo libro, il ragionamento è analogo:

     

    dominio: poniamo il denominatore della prima funzione diverso da 0, otteniamo

     

    x+4\neq 0

     

    x\neq -4

     

    codominio:

     

    \frac{1}{x+4}

     

    vale 1/2 in -2 e va a meno infinito se x tende a -4.

     

    Per l'altra funzione vale il ragionamento fatto prima, quindi i due codominii sono

     

    (-\infty, 1/2] \mbox{ e }(-5,+\infty)

     

    Unendoli troviamo

     

     

    (-\infty, 1/2] \cup (-5,+\infty)=(-\infty,+\infty)=\mathbb{R}

     

    Quindi il codominio è l'intero asse reale.

    Risposta di Alpha

  • Ok ci sono...ma l'unica cosa che mi sfugge ed è stato questo il mio problema dall'inizio :

    nella prima funzione con 1/(x+4) ... se x =-2 viene y=1/2 ma se x = -3 viene y=1

    quindi sale...poi x =-5 viene y=-1 e x =-6 viene -1/2 quindi è un sali scendi...

    perchè?è un tipo particolare di funzione?

    Risposta di

  • UP

    Risposta di

  • La funzione

     

    y=\frac{1}{x+4}

     

    ha questo grafico:

     

    alt

     

    ecco perché trovi quell'andamento, è un'iperbole.

    Risposta di Alpha

  • ma perchè ci sono due linee non l'ho capito....

    Risposta di

  • La funzione ha un asintoto verticale in -4 quindi si traccia la linea verticale per dire che la funzione tende a quel valore, ma non lo raggiunge mai, perché lì non è definita, infatti abbiamo escluso il valore x=-4 dal dominio della funzione.

    In sostanza la funzione va a meno infinito quando stiamo vicini a -4 e ci muoviamo da sinistra a destra e diverge a più infinito quando invece ci avviciniamo a -4 muovendoci da sinistra a destra.

     

    Pensala così: la funzione non è definita in -4 perché il suo denominatore si annulla, ma cosa fa quando si avvicina a quel valore in cui non è possibile calcolarla?

    Questa particolare funzione in quel punto ha un asintoto verticale, cioè quando ci avviciniamo al punto di ascissa -4 da sinistra la funzione assume valori sempre più piccoli, mentre quando ci avviciniamo a quel punto da destra assume valori sempre più grandi, fino a raggiungere rispettivamente meno e più infinito.

     

    Per capire fino in fondo questo tipo di analisi dell'andamento del grafico di una funzione è necessario studiare l'operazione di limite, che ci permette di capire quale sia l'andamento di una funzione nei punti in cui non è definita.

    Risposta di Alpha

  • Grazie come sempre , ora ho capito...

    Risposta di
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