Soluzioni
  • L'esercizio è composto da due punti: ci viene chiesto di calcolare il dominio e l'immagine della funzione

    f(x)=\frac{1}{x+4}

    Dominio della funzione

    f(x) è una funzione razionale fratta, infatti è il quoziente delle funzioni polinomiali N(x)=1 e D(x)=x+4, ed è ben posta se la funzione al denominatore è diversa da 0

    C.E. \ :\ x+4\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -4

    Il dominio della funzione f(x) è perciò l'insieme di tutti i numeri reali escluso -4, ossia

    \mbox{Dom}(f)=\left\{x\in\mathbb{R}\ \mbox{t.c.} \ x\ne -4\right\}=

    Usando la notazione degli intervalli, il dominio può essere espresso come:

    =(-\infty, -4)\cup (-4,+\infty)

    Immagine della funzione

    In linea teorica possiamo tranquillamente procedere con la definizione per ricavare l'immagine della funzione f(x), perché l'espressione analitica della funzione non è poi così complicata.

    Il testo d'altronde fornisce un suggerimento, e in particolare di ricorrere al grafico intuitivo della funzione in modo da dedurne l'insieme immagine.

    A tal proposito ci basta osservare l'espressione analitica di f(x): essa si presenta nella forma

    f(x)=g(x+4)

    dove

    g(x)=\frac{1}{x} \ \ \ \mbox{con}\ x\ne 0

    Dal punto di vista geometrico il grafico di f(x) si ottiene applicando una traslazione di 4 unità verso sinistra sul grafico di g(x) (che è ben noto: si veda y=1/x).

    Il grafico di f(x) è

     

    Grafico funzione in un esercizio su dominio e codominio

     

    Poiché l'immagine di una funzione è l'insieme costituito dalle ordinate dei punti che compongono il grafico, possiamo affermare che l'immagine di f(x) è:

    \mbox{Im}(f)=(-\infty,0)\cup (0,+\infty)

    Ricapitolando:

    - il dominio della funzione è

    \mbox{Dom}(f)=(-\infty,-4)\cup (-4, +\infty);

    - l'immagine della funzione è

    \mbox{Im}(f)=(-\infty, 0)\cup (0,+\infty)

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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