Problema funzione: dominio e immagine
Mi è capitato un esercizio in cui mi si chiede di calcolare il dominio e l'immagine di una funzione razionale fratta. Il testo suggerisce di usare le tecniche per il grafico intuitivo. Non ho proprio idea di come si faccia, potreste darmi una mano?
Si consideri la funzione definita da:
1) Calcolare il dominio di 
;
2) Determinare l'immagine di .
Suggerimento: usare le tecniche per tracciare il grafico intuitivo e dedurre l'insieme immagine.
Grazie.
-
L'esercizio è composto da due punti: ci viene chiesto di calcolare il dominio e l'immagine della funzione
Dominio della funzione
è una funzione razionale fratta, infatti è il quoziente delle funzioni polinomiali 
e 
, ed è ben posta se la funzione al denominatore è diversa da 0
Il dominio della funzione
è perciò l'insieme di tutti i numeri reali escluso -4, ossia
Usando la notazione degli intervalli, il dominio può essere espresso come:
Immagine della funzione
In linea teorica possiamo tranquillamente procedere con la definizione per ricavare l'immagine della funzione
, perché l'espressione analitica della funzione non è poi così complicata.Il testo d'altronde fornisce un suggerimento, e in particolare di ricorrere al grafico intuitivo della funzione in modo da dedurne l'insieme immagine.
A tal proposito ci basta osservare l'espressione analitica di
: essa si presenta nella forma
dove
Dal punto di vista geometrico il grafico di
si ottiene applicando una traslazione di 4 unità verso sinistra sul grafico di 
(che è ben noto: si veda y=1/x).Il grafico di
è
Poiché l'immagine di una funzione è l'insieme costituito dalle ordinate dei punti che compongono il grafico, possiamo affermare che l'immagine di
è:
Ricapitolando:
- il dominio della funzione è
;- l'immagine della funzione è
Abbiamo finito.
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