L'esercizio è composto da due punti: ci viene chiesto di calcolare il dominio e l'immagine della funzione
Dominio della funzione
è una funzione razionale fratta, infatti è il quoziente delle funzioni polinomiali
e
, ed è ben posta se la funzione al denominatore è diversa da 0
Il dominio della funzione
è perciò l'insieme di tutti i numeri reali escluso -4, ossia
Usando la notazione degli intervalli, il dominio può essere espresso come:
Immagine della funzione
In linea teorica possiamo tranquillamente procedere con la definizione per ricavare l'immagine della funzione
, perché l'espressione analitica della funzione non è poi così complicata.
Il testo d'altronde fornisce un suggerimento, e in particolare di ricorrere al grafico intuitivo della funzione in modo da dedurne l'insieme immagine.
A tal proposito ci basta osservare l'espressione analitica di
: essa si presenta nella forma
dove
Dal punto di vista geometrico il grafico di
si ottiene applicando una traslazione di 4 unità verso sinistra sul grafico di
(che è ben noto: si veda y=1/x).
Il grafico di
è
Poiché l'immagine di una funzione è l'insieme costituito dalle ordinate dei punti che compongono il grafico, possiamo affermare che l'immagine di
è:
Ricapitolando:
- il dominio della funzione è
;
- l'immagine della funzione è
Abbiamo finito.
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