Soluzioni
  • L'esercizio è composto da due punti: ci viene chiesto di calcolare il dominio e l'immagine della funzione

    f(x) = (1)/(x+4)

    Dominio della funzione

    f(x) è una funzione razionale fratta, infatti è il quoziente delle funzioni polinomiali N(x) = 1 e D(x) = x+4, ed è ben posta se la funzione al denominatore è diversa da 0

    C.E. : x+4 ne 0 → x ne-4

    Il dominio della funzione f(x) è perciò l'insieme di tutti i numeri reali escluso -4, ossia

    Dom(f) = x∈R t.c. x ne-4 =

    Usando la notazione degli intervalli, il dominio può essere espresso come:

    = (-∞,-4) U (-4,+∞)

    Immagine della funzione

    In linea teorica possiamo tranquillamente procedere con la definizione per ricavare l'immagine della funzione f(x), perché l'espressione analitica della funzione non è poi così complicata.

    Il testo d'altronde fornisce un suggerimento, e in particolare di ricorrere al grafico intuitivo della funzione in modo da dedurne l'insieme immagine.

    A tal proposito ci basta osservare l'espressione analitica di f(x): essa si presenta nella forma

    f(x) = g(x+4)

    dove

    g(x) = (1)/(x) con x ne 0

    Dal punto di vista geometrico il grafico di f(x) si ottiene applicando una traslazione di 4 unità verso sinistra sul grafico di g(x) (che è ben noto: si veda y=1/x).

    Il grafico di f(x) è

     

    Grafico funzione in un esercizio su dominio e codominio

     

    Poiché l'immagine di una funzione è l'insieme costituito dalle ordinate dei punti che compongono il grafico, possiamo affermare che l'immagine di f(x) è:

    Im(f) = (-∞,0) U (0,+∞)

    Ricapitolando:

    - il dominio della funzione è

    Dom(f) = (-∞,-4) U (-4,+∞);

    - l'immagine della funzione è

    Im(f) = (-∞, 0) U (0,+∞)

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Scuole Superiori - Analisi