Soluzioni
  • Il dominio della funzione

    f(x) = √(3^x-1)+√(27-9^x)

    si ricava imponendo la non negatività dei radicandi: osserviamo infatti che i termini irrazionali sono delle radici con indice pari.

    Le condizioni d'esistenza, inoltre, devono valere contemporaneamente, ecco perché costruiamo il sistema di disequazioni

    3^x-1 ≥ 0 ; 27-9^x ≥ 0

    Consideriamo la prima relazione

    3^x-1 ≥ 0

    Essa non è altro che una disequazione esponenziale che risolviamo isolando al primo membro l'esponenziale

    3^x ≥ 1

    e riscrivendo 1 come potenza in base 3

    3^x ≥ 3^0 → x ≥ 0

    Per quanto concerne la seconda disequazione del sistema

    27-9^x ≥ 0

    isoliamo il termine esponenziale al primo membro

    9^x ≤ 27

    dopodiché sfruttiamo le proprietà delle potenze così da poter esprimere il primo e il secondo membro come potenze di 3

    3^(2x) ≤ 3^3

    da cui, confrontando gli esponenti, ricaviamo

    2x ≤ 3 → x ≤ (3)/(2)

    Con le informazioni a nostra disposizione, possiamo concludere che l'insieme soluzione del sistema è

    0 ≤ x ≤ (3)/(2)

    dunque il dominio di f(x) coincide con il seguente intervallo:

    Dom(f) = [0,(3)/(2)]

    Ecco fatto.

    Risposta di Ifrit
 
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