Dominio di una funzione somma di radici

Dovrei determinare il dominio di una funzione, somma di radici quadrate con al radicando degli esponenziali. Ho proceduto imponendo le condizioni di esistenza delle funzioni irrazionali, ma non sono riuscito a ricavare il risultato proposto dal professore.

 

Calcolare il dominio della funzione

 

f(x)=\sqrt{3^x-1}+\sqrt{27-9^x}

In Superiori - Analisi - Domanda di gggg12

Soluzioni

  • Il dominio della funzione

    f(x)=\sqrt{3^x-1}+\sqrt{27-9^x}

    si ricava imponendo la non negatività dei radicandi: osserviamo infatti che i termini irrazionali sono delle radici con indice pari.

    Le condizioni d'esistenza, inoltre, devono valere contemporaneamente, ecco perché costruiamo il sistema di disequazioni

    \begin{cases}3^x-1\ge 0 \\ \\ 27-9^x\ge 0\end{cases}

    Consideriamo la prima relazione

    3^x-1\ge 0

    Essa non è altro che una disequazione esponenziale che risolviamo isolando al primo membro l'esponenziale

    3^x\ge 1

    e riscrivendo 1 come potenza in base 3

    3^x\ge 3^0 \ \to \ x\ge 0

    Per quanto concerne la seconda disequazione del sistema

    27-9^x\ge 0

    isoliamo il termine esponenziale al primo membro

    9^x\le 27

    dopodiché sfruttiamo le proprietà delle potenze così da poter esprimere il primo e il secondo membro come potenze di 3

    3^{2x}\le 3^3

    da cui, confrontando gli esponenti, ricaviamo

    2x\le 3 \ \to \ x\le \frac{3}{2}

    Con le informazioni a nostra disposizione, possiamo concludere che l'insieme soluzione del sistema è

    0\le x\le\frac{3}{2}

    dunque il dominio di f(x) coincide con il seguente intervallo:

    Dom(f)=\left[0,\frac{3}{2}\right]

    Ecco fatto.

    Risposta di Ifrit
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