Dominio di una funzione somma di radici

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Dovrei determinare il dominio di una funzione, somma di radici quadrate con al radicando degli esponenziali. Ho proceduto imponendo le condizioni di esistenza delle funzioni irrazionali, ma non sono riuscito a ricavare il risultato proposto dal professore.

 

Calcolare il dominio della funzione

 

f(x)=\sqrt{3^x-1}+\sqrt{27-9^x}

Domanda di gggg12

 
Soluzioni

  • Il dominio della funzione

    f(x)=\sqrt{3^x-1}+\sqrt{27-9^x}

    si ricava imponendo la non negatività dei radicandi: osserviamo infatti che i termini irrazionali sono delle radici con indice pari.

    Le condizioni d'esistenza, inoltre, devono valere contemporaneamente, ecco perché costruiamo il sistema di disequazioni

    \begin{cases}3^x-1\ge 0 \\ \\ 27-9^x\ge 0\end{cases}

    Consideriamo la prima relazione

    3^x-1\ge 0

    Essa non è altro che una disequazione esponenziale che risolviamo isolando al primo membro l'esponenziale

    3^x\ge 1

    e riscrivendo 1 come potenza in base 3

    3^x\ge 3^0 \ \to \ x\ge 0

    Per quanto concerne la seconda disequazione del sistema

    27-9^x\ge 0

    isoliamo il termine esponenziale al primo membro

    9^x\le 27

    dopodiché sfruttiamo le proprietà delle potenze così da poter esprimere il primo e il secondo membro come potenze di 3

    3^{2x}\le 3^3

    da cui, confrontando gli esponenti, ricaviamo

    2x\le 3 \ \to \ x\le \frac{3}{2}

    Con le informazioni a nostra disposizione, possiamo concludere che l'insieme soluzione del sistema è

    0\le x\le\frac{3}{2}

    dunque il dominio di f(x) coincide con il seguente intervallo:

    Dom(f)=\left[0,\frac{3}{2}\right]

    Ecco fatto.

    Risposta di Ifrit
 
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