Soluzioni
  • Ciao Turdacò, un attimo di pazienza e arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Si tratta di un integrale improprio:

    \int_{0}^{+\infty}{\frac{e^{-x}}{e^x-1}dx}

    di cui bisogna valutare la convergenza/divergenza. Osserviamo che l'integranda, nell'intorno di +\infty, garantisce la convergenza dell'integrale, poiché è asintoticamente equivalente a

    \frac{e^{-x}}{e^x-1}\leq \frac{1}{e^x-1}\sim_{x\to +\infty}\frac{1}{e^{x}}<\frac{1}{x^2}

    Nell'intorno di x=0, invece, valutiamo l'equivalenza asintotica dell'integranda mediante uno sviluppo di Taylor al primo ordine (limite notevole):

    \frac{e^{-x}}{e^x-1}\sim_{x\to 0^{+}} \frac{1}{e^x-1}\sim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}

    e ne deduciamo che l'integrale è divergente. 

    La lettura di questa lezione dovrebbe sciogliere ogni tuo dubbio in merito: tabella degli integrali impropri.

    L'integrale proposto diverge.

    Namasté!

     

     

    Risposta di Omega
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