Risoluzione carattere di serie numerica

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Buon pomeriggio!Vorrei chiedere se è corretta la risoluzione di una serie numerica:

Stabilire il carattere della serie  "sommatoria da n=1 a +oo di [sen(nTT/2)]/n"

Devo applicare credo il criterio del confronto asintotico mettendo a confronto con una serie armonica generalizzata..se la confronto con la serie armonica semplice il limite della somma parziale fratto la serie armonica non esiste..se la confronto con una serie armonica generalizzata con esponente maggiore o uguale a 2 viene +oo,se invece la confronto con una serie armonica generalizzata con esponente compreso tra 0 e 1 mi viene 0 quindi ho alla fine che [sen(nTT/2)]/n <= 1/n^3/2 che converge quindi la mia serie converge..è giusto questo metodo? (ho scelto 3/2 ma potevo usare anche 3/4 e così via,basta che era compreso tra 0 e 1!) grazie mille Laughing

Domanda di Valy

 
Soluzioni

  • Ciao Valy arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Scusami Valy,  ho una domanda da porti, sei sicura che devi risolvere la serie con il criterio del confronto asintotico? 

    Risposta di Ifrit

  • nono non necessariamente :) però premetto che al corso non abbiamo fatto nè serie di fourier nè serie di taylor ;)

    Risposta di Valy

  • Lol, se è per questo non so cosa siano le serie di Fourier :P (scherzo, o forse no!)

    Purtroppo il metodo proposto non è corretto, questo perché non hai di fronte una serie a segno costante (ion pratica quel seno crea rogne :P).

    Procediamo in modo diverso, analizzando il termine:

    sin(n (π)/(2)) 

    Esso assume i valori 1, 0, -1 a rotazione. Infatti:

    n = 1 sin(π)/(2) = 1 ; n = 2 sin(π) = 0 ; n = 3 sin (3)/(2)π = -1 ; n = 4 sin 2π = 0 ; n = 5 sin(5)/(2) π = 1

    e così via.

    A questo punto puoi osservare che esiste una certa relazione. Quando n è pari il seno è zero. Quando n è dispari il seno assume in modo alternato i valori -1, 1. 

    La serie di partenza si riscrive come:

    Σ_(n = 0)^∞ ((-1)^n)/(2n+1)

    Per convicertene, dovrai scrivere alcuni termini della serie originale e la serie che abbiamo trovato. 

    Nota: Il (-1)^n serve per alternare il segno dei termini, al denominatore hai 2n+1 (numeri  dispari) perché per gli n pari il seno annulla tutta la frazione.

     

    La serie originaria quindi ha lo stesso carattere della serie

    Σ_(n = 0)^∞ ((-1)^n)/(2n+1)

    che va studiata con Leibnitz, è una serie a segni alterni. 

    La successione (a_n)_n = (1)/(2n+1) è 

    • Positiva (banale)

    • Decrescente 

    2n+1 ≤ 2(n+1)+1 = 2n+2+1 = 2n+3 ⇒ (1)/(2n+3) ≤ (1)/(2n+1)

    • Infinitesima

    lim_(n → ∞)(1)/(2n+1) = 0

     

    Le ipotesi del criterio di Leibnitz sono soddisfatte, quindi la serie c

    Σ_(n = 0)^∞ ((-1)^n)/(2n+1)

    converge così come la serie di partenza :)

    Risposta di Ifrit

  • mio dio chiarissimo Money mouth grazie mille!!!!*.*

    Risposta di Valy
 
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