Soluzioni
  • Ciao Valy arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Scusami Valy,  ho una domanda da porti, sei sicura che devi risolvere la serie con il criterio del confronto asintotico? 

    Risposta di Ifrit
  • nono non necessariamente :) però premetto che al corso non abbiamo fatto nè serie di fourier nè serie di taylor ;)

    Risposta di Valy
  • Lol, se è per questo non so cosa siano le serie di Fourier :P (scherzo, o forse no!)

    Purtroppo il metodo proposto non è corretto, questo perché non hai di fronte una serie a segno costante (ion pratica quel seno crea rogne :P).

    Procediamo in modo diverso, analizzando il termine:

    \sin\left(n \frac{\pi}{2}\right) 

    Esso assume i valori 1, 0, -1 a rotazione. Infatti:

    \begin{matrix}n=1& \sin\frac{\pi}{2}=1\\ n=2 & \sin(\pi)= 0\\ n= 3& \sin \frac{3}{2}\pi = -1\\ n=4& \sin 2\pi = 0 \\ n=5 \sin\frac{5}{2} \pi=1 \end{matrix}

    e così via.

    A questo punto puoi osservare che esiste una certa relazione. Quando n è pari il seno è zero. Quando n è dispari il seno assume in modo alternato i valori -1, 1. 

    La serie di partenza si riscrive come:

    \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}

    Per convicertene, dovrai scrivere alcuni termini della serie originale e la serie che abbiamo trovato. 

    Nota: Il (-1)^n serve per alternare il segno dei termini, al denominatore hai 2n+1 (numeri  dispari) perché per gli n pari il seno annulla tutta la frazione.

     

    La serie originaria quindi ha lo stesso carattere della serie

    \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}

    che va studiata con Leibnitz, è una serie a segni alterni. 

    La successione (a_n)_n=\frac{1}{2n+1} è 

    • Positiva (banale)

    • Decrescente 

    2n+1\le 2(n+1)+1= 2n+2+1= 2n+3\implies \frac{1}{2n+3}\le \frac{1}{2n+1}

    • Infinitesima

    \lim_{n\to \infty}\frac{1}{2n+1}=0

     

    Le ipotesi del criterio di Leibnitz sono soddisfatte, quindi la serie c

    \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}

    converge così come la serie di partenza :)

    Risposta di Ifrit
  • mio dio chiarissimo Money mouth grazie mille!!!!*.*

    Risposta di Valy
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