Soluzioni
  • Ciao Malouda_FC, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Vediamo un po': la serie è questa qui

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)}

    Calcoliamo il denominatore comune

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\left(\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}}\right)}

    "Razionalizziamo" il termine generale della serie, moltiplicandolo per \sqrt{n+1}-\sqrt{n}

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\left(\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}}\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right)}

    A numeratore applichiamo la regola del falso quadrato (a-b)(a+b)=(a^2-b^2)

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\left(\frac{n+1-n}{\sqrt{n^2+n}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\right)}

    cioè

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+n}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\right)}

    Ora guardiamo il termine generale, e a denominatore limitiamoci a considerare l'infinito di ordine principale per determinare un'opportuna equivalenza asintotica al tendere di n\to +\infty

    \left(\frac{1}{\sqrt{n^2+n}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\right)\sim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^2(\sqrt{n}+\sqrt{n})}

    cioè

    \left(\frac{1}{\sqrt{n^2+n}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\right)\sim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^2(2\sqrt{n})}

    cioè

    \left(\frac{1}{\sqrt{n^2+n}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\right)\sim_{n\to +\infty}\frac{1}{2n^{\frac{5}{2}}}

    abbiamo quindi scoperto che la serie assegnata è asintoticamente equivalente alla serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 1. Questa serie converge, dunque converge anche la serie di partenza in forza del criterio del confronto asintotico.

    C'è, in effetti, un modo molto più semplice per vedere che la serie è convergente: basta osservare che abbiamo a che fare con una serie telescopica...

    Se vuoi dare un'occhiata (prova a cercare) puoi trovare molti esempi di esercizi simili, oltre a tutti gli aspetti teorici circa il confronto asintotico e la serie armonica generalizzata.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie Infinite davvero!!

    Risposta di Malouda_Fc
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