Soluzioni
  • La funzione

    f(x)= \frac{\ln(x)}{x}

    ha dominio \mbox{dom}(f)= \{x\in\mathbb{R}:x\textgreater 0\}.

    Per studiare la concavità e la convessità necessitiamo della derivata seconda della funzione. Calcoliamo prima la derivata prima e in seguito la derivata seconda. Per la regola di derivazione del quoziente si ha che

    f'(x)= \frac{D[\ln(x)]\cdot x - \ln(x)\cdot D[x]}{x^2}

    dove la derivata del logaritmo di x è

    D[\ln(x)]=\frac{1}{x}

    e la derivata di x è

    D[x]=1

    (sono entrambe derivate fondamentali). Rimpiazziamo i vari termini

    \\ f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln(x)\cdot 1}{x^2}=\\ \\ \\=\frac{1-\ln(x)}{x^2}

    Il calcolo della derivata seconda avviene con la stessa regola di derivazione usata in precedenza:

    \\ f''(x)= \frac{-\frac{1}{x}\cdot x^2-2x(1-\ln(x))}{x^4}=\\ \\ \\ =\frac{- x-2x(1-\ln(x))}{x^4}=\\ \\ \\= \frac{x(-1-2+2\ln(x))}{x^4}=\\ \\ \\= \frac{2\ln(x)-3}{x^3}

    Vediamo per quali valori si annulla la derivata seconda, essi saranno potenziali punti di flesso:

    f''(x)=0\iff 2\ln(x)-3=0\iff \ln(x)= \frac{3}{2}\implies x= e^{\frac{3}{2}}

    Per determinare la natura di tale punto studieremo il segno della derivata seconda. Osserviamo che il segno dipenderà esclusivamente dal numeratore perché il denominatore è sempre positivo nel dominio:

    f''(x)\textgreater 0\iff 2\ln(x)-3\textgreater 0

    Da cui:

    2\ln(x)\textgreater 3\implies \ln(x)\textgreater \frac{3}{2}\implies x\textgreater e^{\frac{3}{2}}

    Possiamo concludere che:

    - la derivata seconda è positiva quando x\in (e^{\frac{3}{2}}, +\infty) dunque la funzione f è convessa in tale intervallo;

    - la derivata seconda è negativa quando x\in (0,e^{\frac{3}{2}}) dunque la funzione f è concava in tale intervallo.

    Abbiamo un cambio di concavità nel punto x_0= e^{\frac{3}{2}}, che è pertanto un punto di flesso.

    Risposta di Ifrit
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