Soluzioni
  • La funzione

    f(x) = (ln(x))/(x)

    ha dominio dom(f) = x∈R:x > 0.

    Per studiare la concavità e la convessità necessitiamo della derivata seconda della funzione. Calcoliamo prima la derivata prima e in seguito la derivata seconda. Per la regola di derivazione del quoziente si ha che

    f'(x) = (D[ln(x)]·x-ln(x)·D[x])/(x^2)

    dove la derivata del logaritmo di x è

    D[ln(x)] = (1)/(x)

    e la derivata di x è

    D[x] = 1

    (sono entrambe derivate fondamentali). Rimpiazziamo i vari termini

     f'(x) = ((1)/(x)·x-ln(x)·1)/(x^2) = (1-ln(x))/(x^2)

    Il calcolo della derivata seconda avviene con la stessa regola di derivazione usata in precedenza:

     f''(x) = (-(1)/(x)·x^2-2x(1-ln(x)))/(x^4) = (-x-2x(1-ln(x)))/(x^4) = (x(-1-2+2ln(x)))/(x^4) = (2ln(x)-3)/(x^3)

    Vediamo per quali valori si annulla la derivata seconda, essi saranno potenziali punti di flesso:

    f''(x) = 0 ⇔ 2ln(x)-3 = 0 ⇔ ln(x) = (3)/(2) ⇒ x = e^((3)/(2))

    Per determinare la natura di tale punto studieremo il segno della derivata seconda. Osserviamo che il segno dipenderà esclusivamente dal numeratore perché il denominatore è sempre positivo nel dominio:

    f''(x) > 0 ⇔ 2ln(x)-3 > 0

    Da cui:

    2ln(x) > 3 ⇒ ln(x) > (3)/(2) ⇒ x > e^((3)/(2))

    Possiamo concludere che:

    - la derivata seconda è positiva quando x∈ (e^((3)/(2)),+∞) dunque la funzione f è convessa in tale intervallo;

    - la derivata seconda è negativa quando x∈ (0,e^((3)/(2))) dunque la funzione f è concava in tale intervallo.

    Abbiamo un cambio di concavità nel punto x_0 = e^((3)/(2)), che è pertanto un punto di flesso.

    Risposta di Ifrit
 
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