La funzione
ha dominio
.
Per studiare la concavità e la convessità necessitiamo della derivata seconda della funzione. Calcoliamo prima la derivata prima e in seguito la derivata seconda. Per la regola di derivazione del quoziente si ha che
dove la derivata del logaritmo di x è
e la derivata di x è
(sono entrambe derivate fondamentali). Rimpiazziamo i vari termini
Il calcolo della derivata seconda avviene con la stessa regola di derivazione usata in precedenza:
Vediamo per quali valori si annulla la derivata seconda, essi saranno potenziali punti di flesso:
Per determinare la natura di tale punto studieremo il segno della derivata seconda. Osserviamo che il segno dipenderà esclusivamente dal numeratore perché il denominatore è sempre positivo nel dominio:
Da cui:
Possiamo concludere che:
- la derivata seconda è positiva quando
dunque la funzione
è convessa in tale intervallo;
- la derivata seconda è negativa quando
dunque la funzione
è concava in tale intervallo.
Abbiamo un cambio di concavità nel punto
, che è pertanto un punto di flesso.
MEDIE | Geometria | Algebra e Aritmetica | |||
SUPERIORI | Algebra | Geometria | Analisi | Altro | |
UNIVERSITÀ | Analisi | Algebra Lineare | Algebra | Altro | |
EXTRA | Pillole | Wiki |