Soluzioni
  • Ciao Povi, arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Il problema è che applichi male i criteri di convergenza. Partiamo da alcune considerazioni:

    \ln^{\beta}\left(\frac{n+2}{n+1}\right)\textless \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^\beta

    E su questa non ci sono problemi, è una disuguaglianza vera, ma aihmé non porta nessun contributo sullo studio della serie, questo perché:

    \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^\beta non converge per alcun valore di beta.

    Procediamo con il criterio del confronto asintotico:

    \ln^{\beta}\left(\frac{n+2}{n+1}\right)= \ln^{\beta}\left(\frac{n+1+1}{n+1}\right)=

    \ln^{\beta}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)

    A questo punto abbiamo che:

    \ln^{\beta}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\sim_{\infty} \left(\frac{1}{n+1}\right)^\beta\sim_{n\to \infty}\frac{1}{n^{\beta}}

    Per il criterio del confronto abbiamo che la serie converge se e solo se:

    \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\beta} converge,

    ma questa è una serie armonica generalizzata che converge se e solo se \beta\textgreater 1

    Risposta di Ifrit
  • Peccato c'ero vicino xD. Grazie per l'aiuto.

    Risposta di povi
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