Punti fissi di una trasformazione ortogonale

Ciao ho un dubbio su trasformazioni ortogonali e punti fissi, tipica paranoia del giorno prima dell'esame. Data una trasformazione ortogonale la cui matrice associata sia A, vale la relazione:

 

AA^t = I

 

Il luogo dei punti fissi è dato dal sistema matriciale

 

(A-I)x=0

 

Con x vettore delle incognite. La mia domanda è: la matrice identità I è la matrice (scritta per righe)

 

(1.0.0)(0.1.0)(0.0.1)

 

oppure è la matrice prodotto di A^t A ?

Grazie ragazzi!

In Uni - Algebra - Domanda di Alessandro

 
Soluzioni

  • Ciao Alessandro arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Cominciamo col dare alcune definizioni. Data una qualsiasi applicazione T:V\to V (endomorfismo). Il punto fisso \mathbf{x}\in V per l'applicazione T è tale che:

    T\mathbf{x}=\mathbf{x}

    In pratica è un punto del dominio che rimane invariato sotto l'azione dell'applicazione. Sia A, la matrice associata alla trasformazione T, la precedente uguaglianza si riscrive in foma matriciale:

    A\mathbf{x}=\mathbf{x}

    ovvero

    A\mathbf{x}-\mathbf{x}=\mathbf{0}

    Ogni vettore \mathbf{x} può essere rivisto come I_n \mathbf{x}, cioè come prodotto della matrice identica di ordine n (n è il numero di righe del vettore colonna \mathbf{x}). Dunque:

    A\mathbf{x}-I_n\mathbf{x}=\mathbf{0}

    Da cui:

    (A-I_n)\mathbf{x}=\mathbf{0}

    Sostanzialmente, la matrice identità non deriva dal prodotto A A^T ma dalla equazione che serve a determinare i punti fissi. Spero di essere stato sufficientemente chiaro :P

    Risposta di Ifrit

  • Se mi viene data nell'esercizio una matrice (1.2.0)(2.4.3)(0.3.5) come faccio a trovare i punti fissi? scrivimi la matrice In grazie

    Risposta di Alessandro

  • Scusami per il ritardo, devi costruire la matrice:

    A-I= \begin{pmatrix}1&2&0\\2&4&3\\0&3&5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=

    =\begin{pmatrix}0&2&0\\2&3&3\\0&3&4\end{pmatrix}

     

    A questo punto devi risolvere il sistema:

    \begin{pmatrix}0&2&0\\2&3&3\\0&3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} 

     

     

    Risposta di Ifrit
 
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