Serie Numerica

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Premetto che le serie non siano il mio forte...Vorrei sapere se queste 2 serie sono convergente e sapere tutti i passaggi e quali criteri adottare per determinarne il carattere..Grazie in anticipo

Sommatoria di:4^n/n^4+4^n

Sommatoria di:4^-n/n^4+4^-n

Infine vorrei sapere se quando il mimite a +00 del termine generale della serie risulta per esempio 1 la serie è convergente o divergente??Grazie ancora

Domanda di Malouda_Fc

 
Soluzioni

  • Ciao Malouda_FC, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per studiare la convergenza/divergenza della prima serie

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{4^n}{n^4+4^n}}

    osserviamo che il termine generale non tende a zero per n\to +\infty, quindi non è soddisfatta la condizione necessaria (ma non sufficiente) per la convergenza. Dunque, la serie diverge.

    Per quanto riguarda la seconda serie

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{4^{-n}}{n^4+4^{-n}}}

    invece, basta osservare che è possibile maggiorarla con

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{4^{-n}}{n^4+4^{-n}}}\leq \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n^4+4^{-n}}}

    quest'ultima serie è asintoticamente equivalente alla serie

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n^4}}

    dunque essendo questa una serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 1, risulta che converge. In definitiva, la serie assegnata converge.

    "Infine vorrei sapere se quando il mimite a +00 del termine generale della serie risulta per esempio 1 la serie è convergente o divergente??"

    Se in generale il termine generale di una serie non tende a zero, non vale la condizione necessaria di convergenza, quindi la serie non può convergere.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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