Soluzioni
  • Ciao i.chiruli arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Allura, la tua domanda è molto complessa e molto delicata.

    Lo studio delle serie numeriche non consiste nel calcolo della somma, anzi, i matematici non conoscono affatto le somme di tutte le serie, ti dirò di più, sono veramente pochissime le serie di cui possiamo calcolare espliciamente il risultato.

    Lo studio di una serie consiste nel determinare il suo carattere :

    Una serie può:

    • Convergere (la somma, che non conosciamo, è un numero finito)

    • Divergere (la somma è +/- infinito)

    • Non regolare (la serie non ammette somma).

    Per determinare il carattere di una serie è possibile ricorrere a dei criteri che ci permettono di asserire se la serie converge o meno, i più famosi sono:

    • Criterio della radice 

    • Criterio del rapporto

    • Criterio di Leibnitz

    • Criterio integrale

    • Criterio del confronto

    • Criterio del confronto asintotico.

     

    Attenzione, ciascun criterio ha delle precise richieste, ad esempio il criterio della radice, così come quello del rapporto, pretende che il termine n-esimo della serie sia positivo.

    Il criterio di Leibnitz si utilizza quando abbiamo a che fare con serie a segni alterni. E così via.

     

    Le serie di cui conosciamo la somma sono di tre tipi:

    • Serie telescopiche

    • Serie geometriche.

    • Serie derivanti dallo sviluppo di Taylor

     

    Perdona la mia superficialità di esposizione, ma la domanda fatta è davvero molto generica :(

    Risposta di Ifrit
  • determinare il carattere non è il mio problema, trovo difficoltà nel calcolare il valore delle serie ad esempio  

    \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2}{n^2+2n}, perchè non posso trovare il valore? eppure è possibile, questo esecizio l' ho preso da alcuni appunti trovati su internet.

    Risposta di i.chirulli
  • Attenzione, non ho detto che è impossibile, dipende dalle serie.

     

    \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n^2+2n}

    è una serie telescopica, nota infatti che:

    \frac{2}{n^2+2n}= \frac{2}{n(n+2)}

    scomponiamo la frazione in fratti semplici, dobbiamo determinare due costanti A, B tali che:

    \frac{2}{n(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+2}

    Facendo il minimo comun denominatore:

    \frac{2}{n(n+2)}= \frac{A(n+2)+Bn}{n(n+2)}

    Il denominatore non serve più:

    2= (A+B)n+2A

    Grazie al principio di identità dei polinomi abbiamo:

    \begin{cases}2A=2\\ A+B=0\end{cases}

    Da cui otterremo che

    A=1, B= -1

     

    Quindi la frazione \frac{2}{n(n+2)} diventa:

    \frac{2}{n(n+2)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}

    La serie si riscrive quindi come:

    \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}

     

    Chiamando a_n= \frac{1}{n}

     

    La serie è della forma:

    \sum_{n=1}^\infty a_n-a_{n+2}

    Per semplicità d'esposizione poniamo:

    s_k=\sum_{n=1}^k a_n-a_{n+2}

    A questo punto costruiamo la successione delle somme parziali:

    s_1= a_1-a_3

    s_2= a_1-a_3+a_2-a_4

    s_3= a_1-a_3+a_2-a_4+a_3-a_5= a_1+a_2+a_4+a_5

    s_4= a_1+a_2-a_4+a_5+a_4-a_6= a_1+a_2+a_5-a_6

     

    Procedendo in questo modo scopriamo che:


    s_k= a_1+a_2+a_{k+1}-a_{k+2}= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}

     

    la somma della serie è data dal limite per k che tende a più infinito di s_k

    \lim_{k\to +\infty}s_k= 1+\frac{1}{2}= \frac{3}{2}

    Finito :D

    Risposta di Ifrit
  • esattamente, scomponendo la frazione ed effettuando il limite della mia somma k-esima raggiungo il risultato della serie, io chiedo se questo risulta essere l'unico procedimento per il calcolo, cioè la difficoltà vera sta nel riuscire a calcolare s_k 

    Risposta di i.chirulli
  • Esatto, la difficolta sta nel lavorare per bene con gli indici, so che a volte può risultare frustrante, ma l'unico consiglio che mi sento di darti è allenamento, allenamento allenamento, prima o poi entrerai nell'ottica. 

    Stai attento/a a come variano gli indici e cerca di determinarne la legge :)

    Risposta di Ifrit
 
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi