Funzione, dominio, discontinuità e specie

Consideriamo la funzione

per determinarne il dominio, l'unica condizione da imporre riguarda il denominatore: esso non deve mai annullarsi, quindi richiediamo che

Per le regole riguardo la determinazione del dominio di una funzione, ti rimando alla lettura del link.

Per trovare gli zeri del polinomio che definisce il denominatore, possiamo scomporlo con Ruffini prendendo come radice . Dopo averlo scomposto con Ruffini, otteniamo il prodotto tra un binomio di grado 1 ed un trinomio di grado 2. Con la formula del discriminante si possono facilmente calcolare i due restanti zeri del polinomio.

In definitiva, si trova che i punti da escludere per individuare il dominio della funzione sono

e quindi tali punti sono i candidati per lo studio delle discontinuità della funzione considerata.

Per stabilire di che specie siano le discontinuità, bisogna calcolare i due limiti sinistro e destro per tendente a ciascuno dei punti dati. Per la teoria e la pratica spiegata in dettaglio puoi fare riferimento alla lezione del link, e dare un'occhiata agli esercizi risolti (nell'articolo trovi il link...)

Ad esempio, nel caso di , bisogna calcolare

e

Scrivendo il polinomio nella sua fattorizzazione e seguendo le regole dell'algebra degli infiniti e degli infinitesimi, di cui parliamo nell'articolo correlato, non ti sarà difficile vedere che tutti e tre i punti considerati sono punti di discontinuità di seconda specie ("almeno uno dei due limiti, sinistro o destro, o non esiste o è infinito").

Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere...

Namasté!