Limite con Taylor di coseno e arcotangente

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Dovrei calcolare il limite di una funzione fratta con arcotangente e coseno. Probabilmente devo utilizzate gli sviluppi di Taylor, ma non so come.

 

lim_(x → 0)(((1)/(1-x^2)-cos(x))arctan(x)-(3)/(2)x^3)/(x^5)

 

Come posso fare?

Domanda di xeltonx

 
Soluzioni

  • Il limite

    lim_(x → 0)(((1)/(1-x^2)-cos(x))arctan(x)-(3)/(2)x^3)/(x^5)

    si presenta nella forma indeterminata [(0)/(0)] che possiamo risolvere mediante gli sviluppi in serie di Taylor.

    Dobbiamo solo comprendere a che ordine fermarci. La potenza al denominatore suggerisce di sviluppare tutte le funzioni al quinto ordine.

    Dallo sviluppo notevole di Taylor

    (1)/(1-t) = 1+t+t^2+t^3+t^4+o(t^4)

    otteniamo l'espansione del termine (1)/(1-x^2) rimpiazzando ad ogni occorrenza di t il termine x^2

    (1)/(1-x^2) = 1+x^2+x^4+x^6+x^8+o(x^8)

    Lo sviluppo ha ordine 8, possiamo però modificare la potenza nell'o-piccolo per ottenere lo sviluppo di ordine 5

    (1)/(1-x^2) = 1+x^2+x^4+o(x^5)

    Continuiamo con lo sviluppo notevole associato alla funzione coseno

    cos(x) = 1-(x^2)/(2)+(x^4)/(24)+o(x^5)

    e quello associato alla funzione arcotangente

    arctan(x) = x-(x^3)/(3)+(x^5)/(5)+o(x^5)

    Con le espansioni determinate calcoliamo lo sviluppo del termine

    y = (1)/(1-x^2)-cos(x)

    stando attenti ai conti

    ((1)/(1-x^2)-cos(x)) = 1+x^2+x^4+o(x^5)-1+(x^2)/(2)-(x^4)/(24)+o(x^5) = (3)/(2)x^2+(23)/(24)x^4+o(x^5)

    Grazie a tale sviluppo possiamo determinare quello associato alla funzione

    ((1)/(1-x^2)-cos(x))arctan(x) =

    basta moltiplicare gli sviluppi associati a ciascun termine tenendo conto delle proprietà degli o-piccolo

    = ((3x^2)/(2)+(23x^4)/(24)+o(x^5))(x-(x^3)/(3)+(x^5)/(5)+o(x^5)) = (3x^3)/(2)+(11 x^5)/(24)+o(x^5)

    Ricomponiamo il tutto per ottenere l'espansione di Taylor-Mc Laurin associata al numeratore

    ((1)/(1-x^2)-cos(x))arctan(x)-(3)/(2)x^3 = (11x^5)/(24)+o(x^5)

    e sostituiamola all'interno del limite

    lim_(x → 0)(((1)/(1-x^2)-cos(x))arctan(x)-(3)/(2)x^3)/(x^5) = lim_(x → 0)((11)/(24)x^5+o(x^5))/(x^5) =

    Raccogliamo x^5 al numeratore e semplifichiamolo con il denominatore così da concludere che il limite è (11)/(24)

    = lim_(x → 0)(x^(5)((11)/(24)+o(1)))/(x^5) = lim_(x → 0)((11)/(24)+o(1)) = (11)/(24)

    Fatto!

    Prima di salutarci, ti invito a leggere la lezione sui limiti con Taylor.

    Risposta di Ifrit
 
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