Soluzioni
  • Ciao Federico, ci vorrà del tempo...arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • In realtà, non così tanto tempo! Laughing Per calcolare l'integrale che proponi, è sufficiente ragionare per simmetria. Ciò permette di semplificare e velocizzare di molto i calcoli...

    Intanto osserviamo che il dominio

    D:=\{x^2+y^2\leq 1\}

    è una circonferenza, quindi dispone di un'utilissima simmetria radiale che sarebbe il caso di sfruttare. Inoltre, la funzione integranda  è in valore assoluto, il che ci permette di calcolare l'integrale come

    \int\int_{D}{|xy|dxdy}=4\int\int_{S}{|xy|dxdy}

    dove S:=D\cap\{(x,y)\mbox{ t.c. }x\geq 0,y\geq 0\}

    Con queste premesse, possiamo eliminare il modulo

    \int\int_{D}{|xy|dxdy}=4\int\int_{S}{|xy|dxdy}=4\int\int_S{xydxdy}

    e passare in coordinate polari (non dimenticandoci dello Jacobiano \rho):

    x=\rho\cos{(\theta)}

    y=\rho\sin{(\theta)}

    coordinate che ci permettono di riscrivere S=\{(\rho,\theta):0\leq\rho\leq 1,0\leq\theta\leq \frac{\pi}{2}\}

    e quindi dobbiamo semplicemente calcolare

    4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{d\theta\int_{0}^{1}{\rho^{2}\sin{(\theta)}\cos{\theta}\rho d\rho}}=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{d\theta\int_{0}^{1}{\rho^{3}\sin{(2\theta)} d\rho}}

    da qui in poi sei in grado di calcolare l'integrale?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • si si tratta solo di fare un paio di integrali nelle due variabili...grazie mille!! ma se lo avessi voluto fare considerando l'integrale per riduzione di domini semplici si può fare?

    Risposta di federico
  • Certamente! Ma sarebbe stato più o meno come andare da Roma a Milano passando per Singapore anziché salire su un FrecciaRossa direttissimo e gustarsi una tazza di Thé. A buon intenditor...Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ok ok grazie mille...dovrei chiederti un altro integrale doppio perchè non so come farlo devo chiuedere il post e farne uno nuovo o te lo posso fare qui?? grazie ancora

    Risposta di federico
 
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