Moltiplicazione tra matrici

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Se devo calcolare la moltiplicazione tra due matrici come nell'esempio che sto per proporre, come devo ragionare? Purtroppo faccio sempre confusione sulle righe e sulle colonne da considerare.

 

Calcolare la moltiplicazione tra le matrici

 

A=\begin{pmatrix}0&1&-2 \\ 0&0&1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}0&0 \\ -1&0 \\ 0&-1\end{pmatrix}

Domanda di Danilo

 
Soluzioni

  • La moltiplicazione tra matrici è eseguibile se il numero di colonne della prima matrice uguaglia il numero di righe delle seconda. Quando si può svolgere, il prodotto restituisce una matrice formata da tante righe quante sono quelle della prima e da tante colonne quante sono quelle della seconda.

    Analizziamo le dimensioni delle matrici proposte.

    A=\begin{pmatrix}0&1&-2 \\ 0&0&1\end{pmatrix}

    ha 2 righe e 3 colonne.

    B=\begin{pmatrix}0&0 \\ -1&0 \\ 0&-1\end{pmatrix}

    è formata da 3 righe e da 2 colonne.

    Il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B, per cui la moltiplicazione tra A, B è eseguibile, e ci aspettiamo che la matrice prodotto AB sia composta da 2 righe e da 2 colonne

    AB=\begin{pmatrix}p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22}\end{pmatrix}

    Indichiamo le righe di A con

    \\ R_1(A) = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1&-2\end{pmatrix} \\ \\ R_2(A) = \begin{pmatrix}a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}

    e rappresentiamo le colonne di B come

    \\ C_1(B)=\begin{pmatrix}b_{11} \\ b_{21} \\ b_{31}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} \\ \\ \\ C_2(B)=\begin{pmatrix}b_{12} \\ b_{22} \\ b_{32}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}

    Ogni elemento p_{ij} \in AB si calcola moltiplicando opportunamente la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B.

    p_{11} si ottiene sommando i prodotti tra il primo elemento di R_1(A) e il primo elemento di C_1(B), il secondo elemento di R_1(A) e il secondo elemento di C_1(B), il terzo elemento di R_1(A) e il terzo elemento di C_1(B)

    \\ p_{11}=a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} + a_{13} \cdot b_{31} = \\ \\ = 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + (-2) \cdot 0 = \\ \\ = 0-1+0 = -1

    Per risalire a p_{12} moltiplichiamo il primo termine di R_1(A) per il primo termine di C_2(B), il secondo termine di R_1(A) per il secondo di C_2(B), il terzo termine di R_1(A) per il terzo di C_2(B), e sommiamo tra loro i vari prodotti

    \\ p_{12} = a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} + a_{13} \cdot b_{32} = \\ \\ = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot (-1) = \\ \\ = 0+0+2 = 2

    L'elemento p_{21} è dato da questo particolare prodotto tra la seconda riga di A e la prima colonna di B

    \\ p_{21} = a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} + a_{23} \cdot b_{31} = \\ \\ = 0 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = \\ \\ = 0+0+0 = 0

    Infine il valore di p_{22} si calcola svolgendo il prodotto tra R_2(A), C_2(B)

    \\ p_{22}=a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} + a_{23} \cdot b_{32} = \\ \\ = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) = \\ \\ = 0+0-1 = -1

    Componiamo la matrice prodotto e abbiamo finito

    AB=\begin{pmatrix}p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 2 \\ 0 & -1\end{pmatrix}

    Soprattutto all'inizio la moltiplicazione tra matrici risulta un argomento difficile da digerire, ma con la giusta dose di esercizi diviene un procedimento quasi meccanico, quindi niente paura.

    Risposta di Galois
 
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