Disuguaglianza fondamentale |sen(x)|<=|x|

|sen(x)|≤|x| è una disuguaglianza notevole, ossia uno di quei risultati che si dimostra una volta per tutte e che poi viene utilizzato negli esercizi e nelle dimostrazioni. La disuguaglianza |sin(x)|≤|x| vale per ogni x nell'insieme dei numeri reali e si dimostra graficamente, mediante la circonferenza goniometrica.

Dimostriamola!

Anzitutto osserviamo che e sono funzioni pari: verifichiamolo.

e per definizione di valore assoluto

Analogamente:

qui basta osservare che il seno è una funzione dispari

e, ancora per definizione di valore assoluto

Questa piccola osservazione permette di limitarsi a dimostrare la disuguaglianza per , e quindi di tralasciare il valore assoluto della . In altre parole rimane da provare che

Disegniamo la circonferenza goniometrica, ossia la circonferenza del piano cartesiano con centro nell'origine degli assi e raggio 1.

Partendo dal semiasse delle ascisse positive e girando in senso antiorario tracciamo un angolo di ampiezza con vertice nell'origine.

Il secondo lato dell'angolo incontra la circonferenza in un punto, che chiamiamo .

Siano inoltre il punto di intersezione tra la circonferenza goniometrica e il semiasse delle ascisse positive, e la proiezione ortogonale di sull'asse x.

Dimostrazione della disuguaglianza |sen(x)|≤|x|.

Il seno dell'angolo è la misura con segno del segmento , per cui

Dalle formule di Geometria Piana è noto che la misura dell'arco di circonferenza è uguale al prodotto tra l'ampiezza dell'angolo al centro che insiste su di esso e la misura del raggio della circonferenza, ossia

La circonferenza goniometrica ha raggio

In definitiva

Osserviamo ora che:

•

infatti sono i lati del triangolo rettangolo di vertici , di cui è uno dei cateti e è l'ipotenusa.

•

in quanto ogni arco di circonferenza è minore della corda che insiste sull'arco stesso.

Per la proprietà transitiva della disuguaglianza

e quindi

La dimostrazione è conclusa.

***

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