Esistenza e unicità di una applicazione lineare definita per immagini

Prima di risolvere l'esercizio facciamo qualche premessa teorica.

Sia un'applicazione lineare tale che

Il teorema di esistenza e unicità di un'applicazione lineare afferma che se è una base di , allora esiste ed è unica.

In caso contrario, cioè se non è una base di non possiamo dire nulla a priori, ma si distinguono i seguenti casi:

1) se non è un sistema di generatori di ma è costituito da vettori linearmente indipendenti tra loro, allora esiste ma non è unica.

2) Se non è un sistema di generatori di ed è linearmente dipendente, oppure se è un sistema di generatori di formato da vettori dipendenti, bisogna controllare manualmente la coerenza della definizione di .

Passando all'esercizio, sappiamo che è la seguente applicazione lineare definita da immagini di vettori

e dobbiamo discuterne l'esistenza e l'unicità.

I vettori preimmagine sono

e non formano una base dello spazio vettoriale , tant'è vero che sono in numero minore alla dimensione di .

Tuttavia, sono linearmente indipendenti tra loro e ciò basta a concludere che esiste ma non è unica.

Due esempi di applicazioni lineari tra loro distinte ma tali da soddisfare le richieste di sono:

Abbiamo finito!