Soluzioni
  • Ciao Cifratonda,

    abbiamo una piramide triangolare VABC di cui si sa che gli spigoli valgono

    AB=AC=BV=VC=25\,\, cm

    ed inoltre la somma tra gli spigoli AV e BC vale

    S=AV+BC=54\,\,cm

    mentre la loro differenza

    D=AV-BC=26\,\,cm

    Possiamo utilizzare le formule per i problemi sui segmenti con somma e differenza, in particolare, il segmento maggiore è dato dalla relazione:

    AV=(S+D):2= (54+26)\,\,cm:2=80\,\,cm:2= 40\,\,cm

    BC=(S-D):2=(54-26)\,\,cm:2=28\,\,cm:2=14\,\,cm

    Siamo in possesso delle lunghezze di tutti gli spigoli: ora possiamo calcolare facilmente le aree della superficie laterale e totale ricorrendo alla formula di Erone che permette di determinare le aree dei triangoli che costituiscono la superficie laterale.

    Ricorda infatti che, dato un triangolo di lati a, b, c, la sua area è:

    Area=\sqrt{p\times (p-a)\times (p-b)\times (p-c)}

    dove p è il semiperimetro del triangolo. 

    Detto questo consideriamo i triangoli di vertici VAB, il suo semiperimetro sarà:

    p_{VAB}=(VA+AB+BV):2=(40+25+25):2= 45\,\,cm

    Dunque:

    Area_{VAB}=\sqrt{p_{VAB}\times (p_{VAB}-VA)\times (p_{VAB}-VB)\times (p_{VAB}-AB)}=

    =\sqrt{45\times (45-40)\times (45-25)\times (45-25)}\,\,cm^2=300\,\,cm^2

    L'altezza del triangolo VAB è data dalla formula inversa:

    h_{AB}=2\times Area_{VAB}:AB=24\,\,cm

    Lavoriamo sul triangolo di vertici VCB, il suo semiperimetro è:

    p_{VCB}=(VC+CB+VB):2=(25+14+25):2=32\,\,cm

    Grazie alla formula di Erone, scopriamo che la sua area è

    Area_{VCB}=\sqrt{p_{VCB}\times(p_{VCB}-VC)\times (p_{VCB}-VB)\times (p_{VCB}-BC)}=

    =\sqrt{32\times (32-25)\times(32-14)\times (32-25)}=168\,\,cm^2

    mentre la sua altezza è

    h_{BC}=2\times Area_{VCB}:BC=2\times 168:14=24\,\,cm

    Ora tocca all'ultimo triangolo di vertici VAC il cui semiperimetro è

    p_{VAC}=(VA+AC+VC):2=(40+25+25):2=45\,\,cm

    mentre al sua area è

    Area_{VAC}=\sqrt{p_{VAC}\times (p_{VAC}-VA)\times (p_{VAC}-AC)\times (p_{VAC}-VC)}=

    =\sqrt{45\times (45-40)\times (45-25)\times (45-25)}\,\, cm=300\,\,cm

    Ora possiamo determinare la sua altezza relativa alla base AC:

    h_{AC}=2\times A_{VAC}:AC=2\times 300:25=24\,\,cm

    A questo punto sommiamo le aree così da determinare l'area della superficie laterale:

    S_{lat}=Area_{VAB}+Area_{VCB}+Area_{VAC}=(300+168+300)\,\,cm^2=768\,\,cm^2

    Per determinare l'area della superficie totale abbiamo bisogno dell'area del triangolo di vertici ABC il cui semiperimetro è

    p_{ABC}=(AB+BC+CA):2=(25+14+25):2=32\,\,cm

    L'area è

    Area_{ABC}=\sqrt{p_{ABC}\times (p_{ABC}-AB)\times (p_{ABC}-BC)\times (p_{ABC}-CA)}=

    =\sqrt{32\times (32-25)\times (32-14)\times (32-25)}=168\,\,cm^2

    L'area della superficie totale è

    S_{tot}=S_{lat}+Area_{ABC}=(768+168)\,\,cm^2=936\,\,cm^2

    Risposta di Ifrit
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