Equazione complessa di terzo grado con Ruffini

  1. Home
  2. Domande e Risposte
  3. Università - Analisi

Sto tentando di risolvere un'equazione complessa applicando diversi metodi. Il testo suggerisce di utilizzare il metodo di Ruffini, o la divisione tra polinomi, ma non ci riesco.

 

Dopo aver osservato che z = i è una soluzione dell'equazione complessa

 

z^3+(2-i)z^2+(λ^2+1-2i)z-i(1+λ^2) = 0

 

calcolare le restanti soluzioni.

 

Come procedo? Grazie mille.

Domanda di leoncinakiara

 
Soluzioni

  • Per risolvere l'equazione nell'incognita complessa z

    z^3+(2-i)z^2+(λ^2+1-2i)z-i(1+λ^2) = 0

    sfruttiamo l'informazione fornita dal testo del problema. Sappiamo che z = i è soluzione dell'equazione, pertanto, grazie al teorema del resto di Ruffini, esiste un polinomio Q(z) di grado 2 tale che

    z^3+(2-i)z^2+(λ^2+1-2i)z-i(1+λ^2) = (z-i)Q(z)

    In altri termini, il polinomio al primo membro dell'equazione si fattorizza mediante il prodotto di due polinomi z-i e Q(z), dove Q(z) è quoziente della divisione polinomiale

    (z^3+(2-i)z^2+(λ^2+1-2i)z-i(1+λ^2)):(z-i)

    Eseguiamo la divisione così da ottenere il polinomio Q(z)

    Q(z) = z^2+2z+1+λ^2

    In definitiva dall'uguaglianza

    z^3+(2-i)z^2+(λ^2+1-2i)z-i(1+λ^2) = (z-i)Q(z)

    otteniamo

    z^3+(2-i)z^2+(λ^2+1-2i)z-i(1+λ^2) = (z-i)(z^2+2z+1+λ^2)

    pertanto l'equazione di partenza diventa

    (z-i)(z^2+2z+1+λ^2) = 0

    La legge di annullamento del prodotto permette a questo punto di considerare due equazioni più semplici: ricordiamo che un prodotto è 0 se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è 0. Il primo fattore è 0 se e solo se

    z-i = 0 → z = i

    Il secondo fattore è 0 nel momento in cui sussiste l'uguaglianza

    z^2+2z+1+λ^2 = 0

    Attenzione, i primi tre addendi formano un quadrato di binomio pertanto l'equazione si esprime nella forma equivalente come

    (z+1)^2+λ^2 = 0

    Sfruttiamo la definizione di unità immaginaria, mediante la quale possiamo esprimere la somma di quadrati come differenza di quadrati complessi

    (z+1)^2-(iλ)^2 = 0 → (z+1-iλ)(z+1+iλ) = 0

    e infine utilizziamo ancora una volta la legge di annullamento del prodotto con cui passiamo alle due equazioni

    z+1-iλ = 0 ∨ z+1+iλ = 0

    Dalla prima otteniamo la soluzione

    z = -1+iλ

    dalla seconda invece otteniamo la soluzione

    z = -1-iλ

    Riassumendo, l'equazione

    z^3+(2-i)z^2+(λ^2+1-2i)z-i(1+λ^2) = 0

    ha tre soluzioni

    z_(1) = i ; z_(2) = -1+iλ ; z_(3) = -1-iλ

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
Le più lette
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi Matematica