Soluzioni
  • Richiamiamo brevemente le definizioni di forma bilineare e di prodotto scalare.

    Siano V uno spazio vettoriale finitamente generato su un campo \mathbb{K} e F: V \times V \to \mathbb{K} un'applicazione che alla coppia di vettori (\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2) \in V \times V associa lo scalare F(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2) \in \mathbb{K}.

    Definizione di forma bilineare

    F è una forma bilineare se è lineare sia rispetto alla prima che rispetto alla seconda componente, ossia se per ogni \mathbf{v},\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 \in V e per ogni a,b \in \mathbb{K} valgono le seguenti proprietà:

    (a) linearità, cioè additività e omogeneità, rispetto alla prima componente

    F(a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2, \mathbf{v}) = aF(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}) + b F(\mathbf{v}_2, \mathbf{v})

    (b) Linearità rispetto alla seconda componente

    F(\mathbf{v}, a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2) = aF(\mathbf{v},\mathbf{v}_1) + b F(\mathbf{v}, \mathbf{v}_2)

    Inoltre, F è una forma bilineare simmetrica se e solo se per ogni \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 risulta che:

    F(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2) = F(\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1)

    Definizione di prodotto scalare

    Un prodotto scalare è una forma bilineare simmetrica definita su uno spazio vettoriale reale. Più esplicitamente, se V è uno spazio vettoriale finitamente generato su \mathbb{K}=\mathbb{R}, allora un'applicazione F: V \times V \to \mathbb{R} che soddisfa le proprietà (a), (b) e che è simmetrica, è un prodotto scalare.

    Risulta allora evidente che ogni prodotto scalare è una forma bilineare, mentre una forma bilineare è un prodotto scalare se è definita su uno spazio vettoriale reale e se è simmetrica.

    Studio delle applicazioni assegnate

    Come richiesto dalla traccia dell'esercizio, stabiliamo se le applicazioni

    F_1, F_2, F_3 : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}

    definite da

    \\ F_1((x_1,x_2), (y_1,y_2)) = x_1y_1-x_1y_2+2x_2y_1-x_2y_2 \\ \\ F_2((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = 2x_1y_1 - 7 x_2y_2 \\ \\ F_3((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = 3x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1-x_2y_2

    sono forme bilineari o prodotti scalari.

    Da qui in poi supporremo che a,b siano due scalari e che

    \\ (x_1,x_2) \ \ ; \ \ (x_1', x_2') \ \ ; \ \ (y_1,y_2)

    siano elementi di \mathbb{R}^2.

    Studio dell'applicazione F_1

    Come prima cosa verifichiamo che l'applicazione F_1

    F_1((x_1,x_2), (y_1,y_2)) = x_1y_1-x_1y_2+2x_2y_1-x_2y_2

    è lineare rispetto alla prima componente.

    F_1(a(x_1,x_2)+b(x_1',x_2'), \ (y_1,y_2))=

    per come sono definite le operazioni tra vettori

    =F_1((ax_1+bx_1', \ ax_2+bx_2'), \ (y_1,y_2))=

    applichiamo F_1

    =(ax_1+bx_1')y_1 - (ax_1+bx_1')y_2 + 2(ax_2+bx_2')y_1 - (ax_2+bx_2')y_2=

    svolgiamo i prodotti

    =ax_1y_1+bx_1'y_1 - ax_1y_2 - bx_1'y_2 + 2ax_2y_1 + 2bx_2'y_1 - ax_2y_2-bx_2'y_2=

    raccogliamo rispetto ad a e rispetto a b

    =a(x_1y_1-x_1y_2+2x_2y_1-x_2y_2) + b(x_1'y_1-x_1'y_2+2x_2'y_1+x_2'y_2) =

    per com'è definita F_1

    aF_1((x_1,x_2), (y_1,y_2)) + bF_1((x_1',x_2'),(y_1,y_2))

    Da ciò segue che F_1 è lineare rispetto alla prima componente e, procedendo allo stesso modo, si dimostra che è lineare anche rispetto alla seconda, di conseguenza F_1 è una forma bilineare su \mathbb{R}^2.

    Poiché \mathbb{R}^2 è uno spazio vettoriale reale, se F_1 è simmetrica allora è un prodotto scalare, in caso contrario non lo è.

    \\ F_1((x_1,x_2), (y_1,y_2)) = x_1y_1-x_1y_2+2x_2y_1-x_2y_2 \\ \\ F_1((y_1,y_2), (x_1,x_2)) = y_1x_1-y_1x_2+2y_2x_1-y_2x_2 =

    per la proprietà commutativa del prodotto e della somma tra numeri reali

    =x_1y_1+2x_1y_2-x_2y_1-x_2y_2

    Poiché, in generale

    -x_1y_2 \neq 2x_1y_2 \ \ \ ; \ \ \ 2x_2y_1 \neq -x_2y_1

    F_1 non è simmetrica, dunque è una forma bilineare su \mathbb{R}^2, ma non un prodotto scalare.

    Studio dell'applicazione F_2

    F_2((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = 2x_1y_1 - 7 x_2y_2

    Evidentemente, F_2 è simmetrica, infatti

    F_2((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = 2x_1y_1 - 7 x_2y_2 =

    per la proprietà commutativa del prodotto

    =2y_1x_1 - 7y_2x_2 = F((y_1,y_2), (x_1,x_2))

    Inoltre, F_2 è lineare rispetto alla prima componente, tant'è vero che:

    \\ F_2(a(x_1,x_2)+b(x_1',x_2'), \ (y_1,y_2))= \\ \\ = F_2((ax_1+bx_1', \ ax_2+bx_2'), \ (y_1,y_2))=

    calcoliamo l'immagine tramite F_2

    \\ =2(ax_1+bx_1')y_1 - 7(ax_2+bx_2')y_2= \\ \\ = 2ax_1y_1+2bx_1'y_1-7ax_2y_2-7bx_2'y_2 =

    raccogliamo secondo a e secondo b

    =a(2x_1y_1-7x_2y_2)+b(2x_1'y_1-7x_2'y_2) = \\ \\ = aF_2((x_1,x_2),(y_1,y_2)) + bF_2((x_1',x_2'),(y_1,y_2))

    La simmetria di cui gode F_2 garantisce la linearità anche rispetto alla seconda componente, per cui F_2 è un prodotto scalare su \mathbb{R}^2.

    Studio dell'applicazione F_3

    F_3((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = 3x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1-x_2y_2

    Applicando la proprietà commutativa del prodotto tra scalari si dimostra che

    F_3((x_1,x_2),(y_1,y_2))=F_3((y_1,y_2), (x_1,x_2))

    pertanto F_3 è simmetrica. Inoltre è anche lineare rispetto alla prima componente, infatti

    \\ F_3(a(x_1,x_2)+b(x_1',x_2'), \ (y_1,y_2)) = \\ \\ = aF_3((x_1,x_2),(y_1,y_2)) + bF_3((x_1',x_2'),(y_1,y_2))

    In definitiva, anche F_3 è un prodotto scalare su \mathbb{R}^2.

    È tutto!

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiVarie
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAVita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Algebra Lineare