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  • Ciao Danieleee, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
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    Risposta di danieleee
  • Per valutare la convergenza divergenza della serie

    \sum_{n=2}^{+\infty}{\log{\left[\left(n\sin{\left(\frac{1}{n}\right)}\right)^7\right]}}

    osserviamo che il termine generale della serie è asintoticamente equivalente, per n\to +\infty, a

    \left(n\sin{\left(\frac{1}{n}\right)}\right)^{\frac{1}{7}}\sim\log{\left[\left(n\left(\frac{1}{n}\right)\right)^7\right]}

    e quindi il termine generale della serie converge a zero. C'è speranza che la serie considerata converga!

    Per determinare la convergenza, sciluppare il seno al primo ordine (limite notevole) non è sufficiente. Procediamo con uno sviluppo di Taylor che arrestiamo al terzo ordine:

    \sin{\left(\frac{1}{n}\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{6n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)

    Poi consideriamo

    n\sin{\left(\frac{1}{n}\right)}=1-\frac{1}{6n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)

    ed infine, elevando alla settima potenza e limitandoci a considerare i termini di grado non superiore a 2

    \left( n\sin{ \left( \frac{1}{n} \right) } \right)= 1-\frac{7}{6n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)

    Dunque

    \log{\left(1-\frac{7}{6n^2}\right)}\sim -\frac{7}{6n^2}

    e per equivalenza asintotica con la serie armonica generalizzata e per convergenza assoluta della serie concludiamo che la serie proposta converge.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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