Serie numerica con logaritmo e seno

Mi serve una mano per stabilire il comportamento di una serie numerica che coinvolge il logaritmo e il seno. La traccia stessa mi suggerisce di usare il criterio del confronto asintotico per le serie. C'è solo un problema: non so determinare una successione asintotica al termine generale.

Usare il criterio del confronto asintotico per stabilire il carattere della seguente serie

$\sum_{n=1}^{+\infty}\ln\left(n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)$

Grazie.

Domanda di danieleee

Soluzioni

Per stabilire il carattere della serie numerica
$\sum_{n=1}^{+\infty}\ln\left(n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)$
controlliamo innanzitutto se è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza: dobbiamo stabilire se il termine generale della serie tende a 0 per $n\to +\infty$ .
Consideriamo quindi il limite
$\lim_{n\to+\infty}\ln\left(n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)=$
e rielaboriamolo nel modo seguente
$=\lim_{n\to+\infty}\ln\left(\frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}\right)=$
Sfruttiamo il limite notevole del seno, il quale garantisce che l'argomento del logaritmo tende a per $n\to +\infty$
$=\ln(1)=0$
La condizione necessaria per la convergenza è assicurata.
Il prossimo passo prevede di usare il criterio di convergenza asintotico per le serie: esso afferma che se due serie a segno costante hanno termini generali asintoticamente equivalenti, allora hanno il medesimo carattere.
Per poterlo utilizzare abbiamo bisogno di una successione $\{b_n\}$ asintoticamente equivalente a $\{a_n\}$ , con
$a_n=\ln\left(n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)$
in modo che la serie $\sum_{n=1}^{+\infty}b_n$ sia più semplice da studiare.
Per ricavarla usiamo la seguente stima notevole che coinvolge il logaritmo:
$\ln(1+b_n)\sim b_n \ \ \ \mbox{se} \ b_n\to 0$
Essa può essere usata ogniqualvolta che l'argomento del logaritmo tende a 1.
Nel nostro caso l'argomento del logaritmo tende certamente a 1. Per determinare una successione asintoticamente equivalente, usiamo un semplice trucco algebrico: sommiamo e sottraiamo 1 all'interno dell'argomento del logaritmo
$\\ \ln\left(n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)=\ln\left(1+\overbrace{n\sin\left(\frac{1}{n}\right)-1}^{=b_n}\right)\sim\\ \\ \\ \sim n\sin\left(\frac{1}{n}\right)-1$
La successione asintotica è ancora troppo elaborata e non ci aiuta a risolvere il problema. Possiamo sfruttare lo sviluppo asintotico notevole del seno
$\sin(c_n)=c_n-\frac{1}{6}c_n^3+o\left(c_n^3\right) \ \ \ \mbox{per} \ c_n\to 0$
che ci permette di scrivere il seguente relazione
$\sin\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}-\frac{1}{6n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)$
Se moltiplichiamo a sinistra e a destra e se sottraiamo 1 ai membri, troviamo
$n\sin\left(\frac{1}{n}\right)-1=-\frac{1}{6n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)$
da cui deduciamo la stima asintotica
$n\sin\left(\frac{1}{n}\right)-1\sim-\frac{1}{6n^2}$
In definitiva possiamo scrivere che:
$\ln\left(n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)\sim -\frac{1}{6n^2}$
Ne deduciamo che la serie data ha lo stesso comportamento della seguente
$\sum_{n=1}^{+\infty}-\frac{1}{6n^2}=-\frac{1}{6}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$
che, a meno della costante moltiplicativa $-\frac{1}{6}$ , è una serie armonica generalizzata convergente, in quanto l'esponente è maggiore di .
In base al criterio del confronto asintotico possiamo concludere che
$\sum_{n=1}^{+\infty}\ln\left(n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)$
è una serie convergente.
Risposta di Ifrit