Soluzioni
  • Per stabilire il carattere della serie numerica

    \sum_{n=1}^{+\infty}\ln\left(n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)

    controlliamo innanzitutto se è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza: dobbiamo stabilire se il termine generale della serie tende a 0 per n\to +\infty.

    Consideriamo quindi il limite

    \lim_{n\to+\infty}\ln\left(n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)=

    e rielaboriamolo nel modo seguente

    =\lim_{n\to+\infty}\ln\left(\frac{\sin\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}\right)=

    Sfruttiamo il limite notevole del seno, il quale garantisce che l'argomento del logaritmo tende a 1 per n\to +\infty

    =\ln(1)=0

    La condizione necessaria per la convergenza è assicurata.

    Il prossimo passo prevede di usare il criterio di convergenza asintotico per le serie: esso afferma che se due serie a segno costante hanno termini generali asintoticamente equivalenti, allora hanno il medesimo carattere.

    Per poterlo utilizzare abbiamo bisogno di una successione \{b_n\} asintoticamente equivalente a \{a_n\}, con

    a_n=\ln\left(n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)

    in modo che la serie \sum_{n=1}^{+\infty}b_n sia più semplice da studiare.

    Per ricavarla usiamo la seguente stima notevole che coinvolge il logaritmo:

    \ln(1+b_n)\sim b_n \ \ \ \mbox{se} \ b_n\to 0

    Essa può essere usata ogniqualvolta che l'argomento del logaritmo tende a 1.

    Nel nostro caso l'argomento del logaritmo tende certamente a 1. Per determinare una successione asintoticamente equivalente, usiamo un semplice trucco algebrico: sommiamo e sottraiamo 1 all'interno dell'argomento del logaritmo

    \\ \ln\left(n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)=\ln\left(1+\overbrace{n\sin\left(\frac{1}{n}\right)-1}^{=b_n}\right)\sim\\ \\ \\ \sim n\sin\left(\frac{1}{n}\right)-1

    La successione asintotica è ancora troppo elaborata e non ci aiuta a risolvere il problema. Possiamo sfruttare lo sviluppo asintotico notevole del seno

    \sin(c_n)=c_n-\frac{1}{6}c_n^3+o\left(c_n^3\right) \ \ \ \mbox{per} \ c_n\to 0

    che ci permette di scrivere il seguente relazione

    \sin\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}-\frac{1}{6n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)

    Se moltiplichiamo n a sinistra e a destra e se sottraiamo 1 ai membri, troviamo

    n\sin\left(\frac{1}{n}\right)-1=-\frac{1}{6n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)

    da cui deduciamo la stima asintotica

    n\sin\left(\frac{1}{n}\right)-1\sim-\frac{1}{6n^2}

    In definitiva possiamo scrivere che:

    \ln\left(n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)\sim -\frac{1}{6n^2}

    Ne deduciamo che la serie data ha lo stesso comportamento della seguente

    \sum_{n=1}^{+\infty}-\frac{1}{6n^2}=-\frac{1}{6}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}

    che, a meno della costante moltiplicativa -\frac{1}{6}, è una serie armonica generalizzata convergente, in quanto l'esponente p=2 è maggiore di 1.

    In base al criterio del confronto asintotico possiamo concludere che

    \sum_{n=1}^{+\infty}\ln\left(n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)

    è una serie convergente.

    Risposta di Ifrit
 
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