Per stabilire il carattere della serie numerica
controlliamo innanzitutto se è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza: dobbiamo stabilire se il termine generale della serie tende a 0 per
.
Consideriamo quindi il limite
e rielaboriamolo nel modo seguente
Sfruttiamo il limite notevole del seno, il quale garantisce che l'argomento del logaritmo tende a
per
La condizione necessaria per la convergenza è assicurata.
Il prossimo passo prevede di usare il criterio di convergenza asintotico per le serie: esso afferma che se due serie a segno costante hanno termini generali asintoticamente equivalenti, allora hanno il medesimo carattere.
Per poterlo utilizzare abbiamo bisogno di una successione
asintoticamente equivalente a
, con
in modo che la serie
sia più semplice da studiare.
Per ricavarla usiamo la seguente stima notevole che coinvolge il logaritmo:
Essa può essere usata ogniqualvolta che l'argomento del logaritmo tende a 1.
Nel nostro caso l'argomento del logaritmo tende certamente a 1. Per determinare una successione asintoticamente equivalente, usiamo un semplice trucco algebrico: sommiamo e sottraiamo 1 all'interno dell'argomento del logaritmo
La successione asintotica è ancora troppo elaborata e non ci aiuta a risolvere il problema. Possiamo sfruttare lo sviluppo asintotico notevole del seno
che ci permette di scrivere il seguente relazione
Se moltiplichiamo
a sinistra e a destra e se sottraiamo 1 ai membri, troviamo
da cui deduciamo la stima asintotica
In definitiva possiamo scrivere che:
Ne deduciamo che la serie data ha lo stesso comportamento della seguente
che, a meno della costante moltiplicativa
, è una serie armonica generalizzata convergente, in quanto l'esponente
è maggiore di
.
In base al criterio del confronto asintotico possiamo concludere che
è una serie convergente.
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