Soluzioni
  • Per calcolare il limite che si presenta nella forma di indecisione [1^{+\infty}]

    \lim_{x\to \pm \infty}\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{x}=(\bullet)

    è sufficiente fare riferimento al limite notevole

    \lim_{x\to qualcosa}\left(1+\frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}=e

    a patto che f(x)\to\pm\infty al tendere di x\to qualcosa. Questo è proprio il nostro caso, infatti

    f(x)=2x\to \pm\infty \ \ \ \mbox{ quando } \ \ \ x\to \pm\infty

    C'è solo un problema: all'esponente manca un coefficiente 2 per potere il limite notevole. Per mettere le cose a posto possiamo utilizzare un piccolo stratagemma algebrico che consiste nel moltiplicare e dividere l'esponente per 2

    (\bullet)=\lim_{x\to \pm\infty}\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{\tfrac{2}{2}x}=

    Applichiamo a dovere le proprietà delle potenze e infine utilizziamo il limite notevole che definisce il numero di Nepero

    =\lim_{x\to\pm\infty}\left[\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{2x}\right]^{\tfrac{1}{2}}=e^{\tfrac{1}{2}}=\sqrt{e}

    Osserviamo che nell'ultimissimo passaggio abbiamo espresso la potenza con esponente fratto mediante il radicale equivalente.

    Risposta di Ifrit
 
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