Limite con forma indeterminata 1 alla infinito e limite notevole

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Ho un limite che dà una forma indeterminata 1 alla infinito e dovrei risolverlo con l'apposito limite notevole. Svolgendo i calcoli evidentemente commetto qualche errore perché non riesco ad applicarlo.

 

lim_(x →±∞)(1+(1)/(2x))^(x)

 

Grazie.

Domanda di MartinaG

 
Soluzioni

  • Per calcolare il limite che si presenta nella forma di indecisione [1^(+∞)]

    lim_(x →±∞)(1+(1)/(2x))^(x) = (•)

    è sufficiente fare riferimento al limite notevole

    lim_(x → qualcosa)(1+(1)/(f(x)))^(f(x)) = e

    a patto che f(x) →±∞ al tendere di x → qualcosa. Questo è proprio il nostro caso, infatti

    f(x) = 2x →±∞ quando x →±∞

    C'è solo un problema: all'esponente manca un coefficiente 2 per potere il limite notevole. Per mettere le cose a posto possiamo utilizzare un piccolo stratagemma algebrico che consiste nel moltiplicare e dividere l'esponente per 2

    (•) = lim_(x →±∞)(1+(1)/(2x))^((2)/(2)x) =

    Applichiamo a dovere le proprietà delle potenze e infine utilizziamo il limite notevole che definisce il numero di Nepero

    = lim_(x →±∞)[(1+(1)/(2x))^(2x)]^((1)/(2)) = e^((1)/(2)) = √(e)

    Osserviamo che nell'ultimissimo passaggio abbiamo espresso la potenza con esponente fratto mediante il radicale equivalente.

    Risposta di Ifrit
 
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