Integrale improprio su [0,1] con parametro reale

Question

Qualcuno mi mostrerebbe come studiare questo integrale improprio con parametro? Determinare i valori del parametro β∈R per i quali il seguente integrale improprio risulti convergente ∫_(0)^(1)(e^(√(x))−1)/((1−cos(x))^(β))dx Come posso gestire il coseno? Interviene qualche proprietà particolare? Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Consideriamo l'integrale improprio con parametro reale

e chiamiamo la funzione integranda:

Essa è una funzione continua nell'intervallo limitato perché composizione di funzioni continue.

In presenta invece una singolarità, notiamo infatti che il denominatore si annulla per tale valore dunque siamo di fronte ad un integrale improprio di seconda specie.

Per rispondere al quesito, faremo uso del criterio del confronto asintotico per gli integrali impropri di seconda specie (per approfondire - criteri di convergenza per gli integrali impropri di seconda specie).

Cosa dobbiamo fare? Dobbiamo determinare una stima asintotica dell'integranda per , per cui è facile dire se l'integrale associato alla stima sia convergente o meno.

Abbiamo tracciato la strada maestra per risolvere l'esercizio, non ci resta che determinare una stima asintotica per , stando attenti sia a come si presenta la funzione esponenziale, sia come si presenta la funzione coseno. Nulla? Ok, allora proviamo ad essere più espliciti.

Per sussistono le seguenti equivalenze asintotiche:

che deriva dal limite notevole dell'esponenziale, mentre

che scaturisce dal limite notevole del coseno.

Le informazioni in nostro possesso ci permettono di costruire la seguente stima per :

È a questo punto che interviene il criterio del confronto asintotico, il quale assicura che l'integrale di partenza ha lo stesso carattere di

Esso è riconducibile ad un integrale improprio notevole di seconda specie che converge se e solo se l'esponente è minore di , cioè

Abbiamo terminato! L'integrale improprio di partenza converge se e solo se