Soluzioni
  • Consideriamo l'integrale improprio con parametro reale

    \int_{0}^{1}\frac{e^{\sqrt{x}}-1}{(1-\cos(x))^{\beta}}dx

    e chiamiamo f(x) la funzione integranda:

    f(x)=\frac{e^{\sqrt{x}}-1}{(1-\cos(x))^{\beta}}

    Essa è una funzione continua nell'intervallo limitato (0,1] perché composizione di funzioni continue.

    In x=0 \ f(x) presenta invece una singolarità, notiamo infatti che il denominatore si annulla per tale valore dunque siamo di fronte ad un integrale improprio di seconda specie.

    Per rispondere al quesito, faremo uso del criterio del confronto asintotico per gli integrali impropri di seconda specie (per approfondire - criteri di convergenza per gli integrali impropri di seconda specie).

    Cosa dobbiamo fare? Dobbiamo determinare una stima asintotica dell'integranda per x\to 0, per cui è facile dire se l'integrale associato alla stima sia convergente o meno.

    Abbiamo tracciato la strada maestra per risolvere l'esercizio, non ci resta che determinare una stima asintotica per f(x), stando attenti sia a come si presenta la funzione esponenziale, sia come si presenta la funzione coseno. Nulla? Ok, allora proviamo ad essere più espliciti.

    Per x\to 0 sussistono le seguenti equivalenze asintotiche:

    e^{\sqrt{x}}-1\sim_{x\to 0}\sqrt{x}

    che deriva dal limite notevole dell'esponenziale, mentre

    1-\cos(x)\sim_{x\to 0}\frac{x^2}{2}

    che scaturisce dal limite notevole del coseno.

    Le informazioni in nostro possesso ci permettono di costruire la seguente stima per f(x):

    \frac{e^{\sqrt{x}}-1}{(1-\cos(x))^{\beta}}\sim_{x\to 0}\frac{2\sqrt{x}}{x^{2\beta}}=\frac{2}{x^{2\beta-\frac{1}{2}}}

    È a questo punto che interviene il criterio del confronto asintotico, il quale assicura che l'integrale di partenza ha lo stesso carattere di

    \int_{0}^{1}\frac{2}{x^{2\beta-\frac{1}{2}}}dx

    Esso è riconducibile ad un integrale improprio notevole di seconda specie che converge se e solo se l'esponente è minore di 1, cioè

    2\beta-\frac{1}{2}<1\iff \beta<\frac{3}{4}

    Abbiamo terminato! L'integrale improprio di partenza converge se e solo se \beta<\frac{3}{4}

    Risposta di Ifrit
 
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