Soluzioni
  • Ciao 904, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Vediamo se ho capito la domanda (mi sbilancio e dico: credo di sì :)).

    Il problema che poni è determinare somma e intersezione di sottospazi a seconda di come siano espressi i sottospazi di partenza (quelli di cui dobbiamo considerare somma e intersezione). Chiamiamoli U,V. Sono date le seguenti possibilità:

    - U,V entrambi espressi in forma di sistemi di equazioni;

    - U,V entrambi espressi attraverso un base;

    - U,V di cui uno espresso in forma di equazioni, l'altro attravero una base.

    Nota che il procedimento che il procedimento che hai esposto all'inizio della domanda, se ho ben compreso, è corretto.

    Dalle equazioni puoi determinare una base per entrambi i sottospazi U,V, unire le due basi e prendere un sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti dell'unione. Tale sottoinsieme costituisce una base della somma dei sottospazi.

    Per l'intersezione, poni due generiche combinazioni lineari degli elementi delle due basi l'una uguale all'altra. Ottieni un sistema lineare: se il sistema ammette come unica soluzione il vettore nullo, allora i due sottospazi hanno come unica intersezione il vettore nullo. Nota che in tal caso i sottospazi U,V sono in somma diretta e la dimensione del sottospazio somma è la somma delle dimensioni dei singoli sottospazi.

    Ciò deriva dalla formula di Grassmann:

    dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(U\cap V)

    dove essendo i sottospazi in somma diretta, risulta che dim(U\cap V)=0.

    Se invece il sistema lineare precedentemente scritto non ammette come unica soluzione la soluzione banale, i due sottospazi U,V hanno intersezione non banale. Una base dello spazio delle soluzioni sarà una base dell'intersezione dei due sottospazi.

    Per la parte conclusiva della tua domanda, non farti troppi problemi: ogni volta che hai un sottospazio definito per equazioni, puoi determinarne tranquillamente una base. Poi procedi con le basi, e hai risolto tutti i tuoi problemi.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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